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suites, logarithmes, exponentielles.
BONJOUR
bonsoir, pouvez vous m'aidez à répondre au questions? je ne comprends vraiment pas les suites. merci d'avance à celle ou celui qui m'aidera.....
Exercice 1
Soit (un) une suite. On considère les propriétés suivantes :
- P1 : la suite (un) est majorée ;
- P2 : la suite (un) n'est pas majorée ;
- P3 : la suite (un) converge ;
- P4 : la suite (un) tend vers +1 ;
- P5 : la suite (un) est croissante.
Dans tous les cas on demande de justifier la réponse.
1. Donner la traduction mathématique des propriétés P1 et P4.
2. Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?
3. Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?
4. Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 ?
5. Une suite vérifiant la propriété P2 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P4 ?
Salut Elomich 
,
Alors, c'est parti :
1 - Donner la traduction mathématiques des propriétés P1 et P4
Rappelons les :
- P1 : la suite (un) est majorée : Une suite est majorée lorsqu'il existe un réel A tel que pour tout on a :
Voici quelques exemples pour que tu puisses comprendre. Considérons la suite (Vn) définie par :
On remarque que tous les termes de cette suite seront compris entre 1 et 0. Ainsi, on peut dire que cette suite est majorée par 1. On peut également dire qu'elle est majorée par 2, 3, 4, 5,54321 etc... En effet, si aucun terme vn n'est supérieur à 1, aucun ne sera supérieur à 2, 3, etc....
- P4 : la suite (un) tend vers +1 : La définition mathématique peut se résumer à ceci. On dit qu'une suite (un) tend vers 1 lorsque :
2 - Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?
Si la propriété P1 est vraie, cela veut dire que la suite (un) est majorée par un réel A. Si la propriété P5 est vérifiée, dans ce cas, la suite (un) ne cessera de croitre. Cependant, d'après la propriété P1, (un) ne pourra pas croitre plus que A. Ainsi, on peut en conclure que la suite (un) converge vers un réel inférieur ou égal à A.
3 - Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?
Cette fois-ci la suite n'est pas majorée, ce qui veut dire qu'il n'existe aucun réel A tel que pour tout
. De plus, la suite est croissante. Elle tendra donc obligatoirement vers
.
4 - Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 ?
On nous demande si une suite qui tend vers 1 est forcément non majorée. La réponse est : non. Il suffit de considérer la suite (vn) définie par :
On se rend facilement compte que cette suite tend vers 1. On voit également que cette suite est majorée par tous les réels supérieurs ou égaux à 2.
5 - Une suite vérifiant la propriété P2 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P4
Ici, il suffit de considérer la suite (wn) définie par :
On voit bien que cette suite n'est pas majorée puisqu'elle tend vers : elle vérifie donc bien la propriété P2. Et puisqu'elle tend vers
, elle ne tend pas vers 1 et ne vérifie pas la propriété P4. Ainsi, la réponse est : Non.
Voili, voiloù .
Mais es-tu vraiment sûr de ton énoncé ? La propriété P3, n'a pas été utilisée.
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