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Suites Numériques

Posté par
pfff
12-05-20 à 19:14

Bonjour je bloque sur une question de cet exercice, merci de m'aider.

ÉNONCÉ

On considère la suite (U_n) définie sur par :
U_0 = 0 et U_n_+_1 = \sqrt{3U_n+4}

1. Démontrer que la suite (U_n) est majorée par 4 (déja fait)
2. Démontrer que la suite (U_n) converge et déterminer sa limite.(déjà fait)

3. Démontrer que n , 4-U_n_+_1 \frac{1}{2}(4-U_n)

Je bloque sur la question 3

Posté par
philgr22
re : Suites Numériques 12-05-20 à 19:30

Bonsoir ,
Utilise un raisonnement par recurrence

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 12-05-20 à 19:35

ok, merci

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 12-05-20 à 19:45

je n'arrive pas à faire l'hérédité

Posté par
lake
re : Suites Numériques 12-05-20 à 19:46

Bonjour,

La récurrence n'est pas le meilleur moyen ici:

  4-u_{n+1}=4-\sqrt{3u_n+4}=\dfrac{12-3u_n}{4+\sqrt{3u_n+4}}  en multipliant par la quantité conjuguée haut et bas.

  4-u_{n+1}=\dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\,(4-u_n)

  reste à majorer \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}} en se souvenant que u_n\geq 0

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 12-05-20 à 22:23

on a plutôt montrer au début que U_n 4
donc pourquoi on prend U_n 0 ?

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 12-05-20 à 22:24

pfff @ 12-05-2020 à 22:23

on a plutôt montrer au début que U_n 4
donc pourquoi on prend U_n 0 ?


désolé U_n 0 ?

Posté par
lake
re : Suites Numériques 12-05-20 à 22:44

Pourquoi ?

Parce que si u_n\geq 0 (à montrer mais c'est presque immédiat) alors:

3u_n+4\geq 4

\sqrt{3u_n+4}\geq 2

4+\sqrt{3u_n+4}\geq 6

\dfrac{1}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{6}

Et enfin:

  \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 12-05-20 à 22:46

Ah d'accord c'est vrai  que c'est plus rapide mais comment vous avez su qu'on doit faire avec 0 et non avec le 4 ?

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 12-05-20 à 22:52

lake @ 12-05-2020 à 22:44

Pourquoi ?

Parce que si u_n\geq 0 (à montrer mais c'est presque immédiat) alors:

3u_n+4\geq 4

\sqrt{3u_n+4}\geq 2

4+\sqrt{3u_n+4}\geq 6

\dfrac{1}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{6}

Et enfin:

  \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}


ya un problème 4-U_n   0 l'inégalité va changer de sens

Posté par
lake
re : Suites Numériques 12-05-20 à 22:53

Pour que la fraction précédente soit plus petite que quelque chose, il faut que u_n soit plus grand qu'autre chose: u_n\leq 4 ne sert à rien ici.

Posté par
lake
re : Suites Numériques 12-05-20 à 22:54

Non 4-u_n\geq 0

Réfléchis...

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 12-05-20 à 23:21

bon j'ai fait d'une autre manière :

on a  4 - U_n 4 - U_n

et on vient de montrer que  \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}

si je fais le produit je réponds à la question posée

Posté par
lake
re : Suites Numériques 13-05-20 à 10:32

Si tu veux; n'oublie pas de montrer proprement que la suite (u_n) est à termes positifs.

Posté par
lake
re : Suites Numériques 13-05-20 à 10:52

Encore que ceci:

  

Citation :
si je fais le produit ...


n'est pas très plaisant à lire.

  \dfrac{3}{4+\sqrt{3u_n+4}}\leq \dfrac{1}{2}

on multiplie les deux membres par 4-u_n\geq 0

pour obtenir u_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}\,(4-u_n)

Posté par
lake
re : Suites Numériques 13-05-20 à 10:57

zut!

pour obtenir {\red4-}u_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}\,(4-u_n)

Posté par
pfff
re : Suites Numériques 13-05-20 à 15:05

OK merci beaucoup !

Posté par
lake
re : Suites Numériques 13-05-20 à 15:10



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