Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau première
Partager :

suites numériques et comportement de suite

Posté par
nipaucle
25-05-21 à 17:31

Bonjour j'ai un dm à faire, comportant 2 exercices, le premier me pose problème, il est assez long , voici le sujet:

(Vn) est la suite définie pour tout entier naturel n par { V0 =1
                                                                                                                      { Vn+1 = 9/6-Vn
1. Démontrer que si pour un certain entier natural k, 0< Vk< 3 alors 0 <Vk+1< 3

On admet pour la suite de l'exercice que pour tout entier natureln, 0<Vn< 3


2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1-Vn= (3-Vn)² /6-Vn
3. En déduire le sens de variation de la suite (Vn).
4. (Tn) est la suite définie pour tout n entier naturel par Tn= 1/Vn-3

a. Démontrer que (Tn) est une suite arithmétique de raison -1/3. On pourra calculer Tn+1-Tn.
b. En déduire l'expression de Tn en fonction de n.
c. Donner alors l'expression de Vn en fonction de n.

5 On donne la fonction Seuil écrite en langage Python qui prend en paramètre un nombre réel A et qui retourne l'entier n à partir duquel Vn>A

                                     1             DEF seuil(A)
                                      2                       V=.........
                                      3                        n=0
                                      4                        WHILE V.........A:
                                       5                                     V=......
                                      6                                      n=n+1
                                                                  RETURN n
a. Compléter les lignes 2,4 et 5
b. Que renvoie la commande seuil (2.9)
FIN

Pour l'exercie 1 j'ai écrit:

On note  P(n) la proposition "0<Vk< 3
On sait que V0=1
donc P(0) est vraie car 0<1< 3

On sait que Vn+1=9/6-Vn
On note P(n+1) la proposition "0<Vk+1<3
9/6-V0 =9/6-1 = 1,8
donc 0<V0+1<3 = 0<1,8< 3

V0=1    V1=1,8
Par récurrence, on démontre ainsi que 0<Vk<3 pour tout entier k E N

Pour l'exercice 2 j'ai commencé par :pour tout entier n strictement supérieur à 0
mais je n'arrive pas a faire le calcul Vn+1-Vn étant donné que je ne sais pas quoi mettre pour la suite Vn
et donc je ne pouvais pas faire le 3

Merci d'avance pour votre aide, même pour une petite question ( n'hésitez pas à me dire s'il manque quelque chose

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:01

La 1) on ne te demande pas une récurence complète mais seulement l'hérédité : "démontrez que P(k) implique P(k+1)".

La récurrence dans son entiereté est ici admise.

Citation :
On note  P(n) la proposition "0<Vk< 3


P(n) ou P(k) ? Et c'est quoi n  (ou k) ? Une patate ? On n'est pas dans ta tête.
Pas besoin de répéter cette définition pour P(k+1), à condition de bien la défnir avec le bon quantitifateur au début (mais ça peut être utile pour l'avoir en visuel : "montrons que P(k) =>  P(k+1), i.e : 0 < vk < 3 => 0 <vk+1 < 3)

Citation :
9/6-V0 =9/6-1 = 1,8
donc 0<V0+1<3 = 0<1,8< 3


Là tu as montré que si P(0) est vrai, alors P(1) était vrai, ce n'est pas une preuve d'hérédité. Nous ce qu'on veut, c'est que, quelque soit l'entier naturel k, si on a 0<vk<3, alors on a 0<vk+1<3 aussi.

Donc tu poses : Soit k un entier naturel.
Supposons que P(k) soit vrai, alors ...
=> ...
=> ...
=> P(k+1)

L'hérédité est donc vérifiée.

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:17

Et je pense que l'énoncé est faux pour la 1), vérifie le.

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:22

NoPseudoDispo  Je suis en train de réfléchir à ce que vous avez dit, j'essaie // Et j'ai vérifié mais l'énoncé et bien le même que sur ma feuille

Posté par
littleguy
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:29

Bonjour,

Juste une question et je vous laisse :

Dans l'énoncé ne serait-ce pas plutôt Vn+1 = 9/(6-Vn ) ?

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:34

littleguy C'est écrit sans parenthèse dans l'énoncé mais c'est vrai que je peux les mettre, merci

Posté par
littleguy
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:38

Si tu ne mets pas de parenthèses ça veut dire :  V_{n+1}=\dfrac{9}{6}-V_n

Avec c'est : V_{n+1}=\dfrac{9}{6-V_n}

donc pas du tout la même chose...

Posté par
fenamat84
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:39

Bonjour,

Je suis du même avis que littleguy que je salue...

Les parenthèses manquantes qu'on oublie d'insérer !!

C'est bien Vn+1= 9 / (6-Vn)...

D'ailleurs cela coïncide grandement aux calculs établis par nipaucle lors de l'initialisation de sa récurrence :
V1 = 9 / (6-V0) = 9 / (6-1) = 9/5 = 1.8...
Ce qui est bien évidemment strictement compris en 0 et 3.

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:45

fenamat84 oui, j'avais quand même pris en compte les parenthèses

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:46

littleguy merci beaucoup, c'est compliqué à tout bien écrire sur le site

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:46

littleguy ah oui sûrement, moi j'étais parti pour modifier la propriété à démontrer, en majorant par 3/2 au lieu de 3, mais ça ne collait pas avec la suite.

nipaucle, l'énoncé dit bien \frac{9}{6-Vn} et non \frac{9}{6} - Vn, n'est-ce pas ?
La première expression s'écrit 9/(6-Vn), la seconde (9/6)-Vn (ou encore 9/6 - Vn), et elles sont évidemment différentes !

Bon sur ce, propose ta réponse moi je ne serai plus disponible.

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:50

NoPseudoDispo D'accord merci beaucoup pour votre aide malgré mon erreur !

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 18:51

c'est bien : Vn+1= 9/(6-Vn)

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 19:00

J'ai fini par écrire :
           0< Un < 3
<=>  0>-Un> -3
<=>  6>  6-Un > 3
<=> 9/6 > 9/(6-Vn) > 9/3
<=> 3/2 < Un+1< 3
<=> P(k+1)

Mais le problème c'est pourquoi 3/2 car normal c'est 0 < 3 donc je sais pas trop quoi en conclure

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 19:00

normalement*

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 19:09

Citation :
<=>  6>  6-Un > 3
<=> 9/6 > 9/(6-Vn) > 9/3


Ce passage est faux, mais étant donné que la suite est juste, je suppose que c'est une erreur de frappe. Mais il faudrait le jusitifer : car la fonction inverse est décroissante sur R+*. Et ensuite on multiplie par 9.

Réfléchis un peu, si vk+1 est plus grand que 3/2, peut-il être plus petit que 0 ?

C'est la propriété de transitivté : quelques soient les réels a,b,c : si a>b et b>c, alors a>c.

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 19:13

Je rappelle qu'il nous suffit d'une implication, pas besoin d'une équivalence, que tu as d'ailleurs mis à la dernière ligne, et qui est fausse.

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 19:15

Et Un ça n'est à priori pas la même chose que Vn !

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 19:18

NoPseudoDispo oui pardon c'est des erreurs de frappe  0>-Vn>-3,
<=> 6>6-Vn>6-3

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 25-05-21 à 20:55

Pour la 2)

Il faut te relire, il manque l'essentiel de ta réponse : pour tout entier naturel n, quoi ??

Vn+1-Vn=9/(6-Vn) - Vn.

Tu mets au même dénominateur et tu factorises, en t'aidant de l'énoncé qui te dit où tu dois arriver.

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 12:43

NoPseudoDispo Je vais essayer ça merci !

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 14:19

NoPseudoDispo j'ai écrit pour tout entier n strictement > 0

Vn+1 -Vn = 9/(6-Vn)-Vn

(9-n(6-n))/(6-n)

(9-6n+n)/(6-n)

(n-3)/(6-n)

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 14:20

  Vn+1 -Vn = 9/(6-Vn)-Vn

(9-n(6-n))/(6-n)

(9-6n+n ² )/(6-n)

(n-3) ² /(6-n)

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 14:25

Pour tout entier N>0 , Vn+1-Vn >0 alors la suite (Vn) est croissante sur N

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 14:38

Il faut que tu te concentres un peu !

Déjà hier, l'erreur portait sur le passage à l'inverse, que j'ai cité, et non sur le passage que tu as recopié en me répondant (à savoir, l'ajoute de 6).

Tu as dejà confondu un et vn.

Maintenant tu confonds vn et n !

Bref, c'est juste, en remplaçant tout les n par des vn.

Pour le signe, il faut m'expliquer d'où ça sort.

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 14:41

Et tu as également inversé, au numérateur, 3 et vn.

Il s'agit de (3-vn)2, et non (vn-3)2

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 14:56

NoPseudoDispo Merci beaucoup  // pour  le signe  j'ai utilisé une propriété que j'ai apprise , étant donné que le calcul contient un ² , le résultat sera positif est donc supérieur à 0 ? Après je peux aussi faire un tableau de signe  


Pour l'ajout du 6 j'ai marqué :
6-0>6-Vn>6-3
6>6-Vn>3
1/6 > 1/(6-Vn)> 1/3

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 14:59

Et j'ai rajouté x—> 1/x est strictement décroissant sur ]0+ l'infini [

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:04

Citation :
Pour l'ajout du 6 j'ai marqué :
6-0>6-Vn>6-3 1
6>6-Vn>3 2
1/6 > 1/(6-Vn)> 1/3 3


L'ajout du 6 est bon, je l'ai déjà dit. L'erreur est quand tu passes à l'inverse, entre la ligne 2 et 3 : il faut changer l'ordre ! Car la fonction inverse est décroissante sur R+*.
Tu peux m'expliquer, si tu n'as pas changé l'ordre ici, comment tu as changé l'ordre dans la ligne d'après ?

Pour le signe, c'est faux. Ce qui est positif, c'est le carré. (3-vn)2 sera positif, parce que c'est le carré d'un réel.
Il faut regarder le signe du dénominateur maintenant...

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:13

NoPseudoDispo ah d'accord j'ai compris merci , donc ça devient 1/6<1/(6-Vn) < 1/3  
( j'ai changé les signes quand je vais que ça n'allait pas )

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:20

Tu as changé l'ordre, pas le signe ! Tu parles comme tu donnes tes résultats : tu balances des trucs n'importe comment en espérant que ça tombe juste. Et je suis pas là pour te noter, si tu ne trouves pas ou ne comprends pas, tu peux demander !
Il faut perdre cette habitude si tu veux progresser. Post bac les profs sont très sévères quand au pipeau, et ils le repèrent très vite.

Pour le signe, alors quel est le signe du dénominateur ? Et un carré c'est positif ou nul. Est-ce-qu'il peut être nul ici ? (Pourquoi ?)

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:35

Merci

Le signe du dénominateur est positif , et je pense que le carré ne peut pas être nul ici

J'ai changé l'ordre plutôt quand j'ai vu qu'il  n'allait plus dans le bon sens, et que la dernière ligne aller être fausse si je ne le faisais pas

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:38

Oui j'ai bien compris ce que tu as fait, et je te déconseille de faire ça. En contrôle pour grapiller des points, si le prof est tolérant, au pire. Mais pas toujours. Ca t'empêchera de progresser.

Je m'en fou de ce que tu penses, je veux que tu m'expliques d'où ça sort. Une réponse non justifiée ne vaut rien.

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:42

En maths, on ne te demande pas du pipeau, qu'il tombe vrai ou pas, mais des démonstrations. Tant que tu refuseras de démontrer, tes notes ne feront que dégringoler chaque année.

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:45

Le carré peut-être nul s'il est égal à 0, mais dans ce cas il faudrait que Vn soit égal à 3, et ce n'est pas le cas dans l'exercice

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:47

NoPseudoDispo Vous avez totalement raison, je ne démontre pas ce que j'écris et ça prouve mes notes

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:48

Voilà, et de même, comme Vn est plus petit que 3, le dénominateur est strictement positif.
Finalement, pour tout entier naturel n, Vn+1 - Vn est strictement positif, donc la suite (Vn) est strictement croissante.

Je t'écoute pour la question 4).

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:54

Je préfère le rédiger, pas sûr que tu aies compris.

On a, pour tout entier naturel n : vn < 3 => -vn > -3 => 6-vn > 3 > 0.

De même, vn < 3 => -vn > - 3 => 3-vn > 0 => (3-vn)2 > 02

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 15:58

Ça me rassure car j'avais quand même compris votre petit rédiger

Pour la 4, je sais que Tn+1 = Tn + r

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:02

Et je peux aussi utiliser Un= Up +(n-p)r

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:04

Mais je ne peux pas l'utiliser car je n'ai pas T0, T1 etc.

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:05

Si Tn= 1/(Tn-3) alors Tn+1 = 1/((Tn+1)-3)

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:08

Non, tu ne sais pas que Tn+1 = Tn + r

Ca, c'est ce qu'on veut démontrer : montrer que (Tn) est une suite géométrique, ça veut dire montrer qu'il existe r tel que pour tout entier naturel n, Tn+1 = Tn + r.

Pour trouver ce r, l'énoncé te proposer de calculer Tn+1 - Tn, tu n'as qu'à le suivre :

Pour tout entier naturel n,

Tn+1 - Tn = (on exprime en fonction de Vn) = ... = ... = une constante

Donc (Tn) est une suite arithmétique de raison la constante qu'on a trouvé.

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:10

Citation :
Si Tn= 1/(Tn-3) alors Tn+1 = 1/((Tn+1)-3)


Encore une fois, tu confonds les lettres ! v, u, t, et n sont 4 lettres différentes qui ont 4 signifcations différentes dans cet exercice (enfin u n'existe même pas ici).

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:23

Donc Tn= 1/(Vn-3),   est-ce que dans l'exercice je peux me permettre d'utiliser Vn+1 pour Tn+1 étant donné qu'on le connaît ?

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:27

Oui bien sûr pourquoi tu ne pourrais pas ?!

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:29

Je préfères vous demandez pour voir si je suis sur la bonne voix, et que je ne me perde pas dans ce que je fais

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:32

Voie*

Posté par
NoPseudoDispo
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:34

Euh il y a une coquille dans mon message de 16H08 : "montrer que (Tn) est une suite arithmétique", et non géométrique évidemment.

Posté par
nipaucle
re : suites numériques et comportement de suite 26-05-21 à 16:40

Pas de problème

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1506 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !