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Suites par récurrence
Bonjour
J'ai beau essayer, je n'arrive pas a faire cettte question dans mon exercice :
On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par :
un= 2n-5 et vn= 3n - 20
Montrer par récurrence qu'à partir d'un certain rang que l'on precisera, on a un < vn
Merci !
U(n) - V(n) = 2^n - 5 - 3^n + 20
U(n) - V(n) = 2^n - 3^n + 15
Supposons U(n) - V(n) < 0 pour une certaine valeur de n, on a alors:
2^n - 3^n + 15 < 0
6 * (2^n - 3^n + 15) < 0
3 * 2 * 2^n - 2 * 3 * 3^n + 15 < 0
3 * 2^(n+1) - 2 * 3^(n+1) + 15 < 0
2^(n+1) + 2 * 2^(n+1) - 2 * 3^(n+1) + 15 < 0
2^(n+1) + 2 (2^(n+1) - 3^(n+1)) + 15 < 0
2^(n+1) + 2 (2^(n+1) - 3^(n+1)) + 2 * 15 -15 < 0
2^(n+1) + 2 (2^(n+1) - 3^(n+1) + 15) - 15 < 0
2 (2^(n+1) - 3^(n+1) + 15) < 15 - 2^(n+1)
2^(n+1) - 3^(n+1) + 15 < 7,5 - 2^n
U(n+1) - V(n+1) < 7,5 -2^n
Et si n >= 3, alors U(n+1) - V(n+1) < -0,5
et a fortiori: U(n+1) - V(n+1) < 0
soit U(n+1) < V(n+1)
Donc si n >= 3 et que U(n) < V(n), on a aussi U(n+1) < V(n+1)
U1 = -3, V1 = -17
U2 = -1, V2 = -11
U3 = 3, V2 = 7
A partir de n = 3, on a U(n) < V(n)
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Sauf distraction. Vérifie. 
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