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suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne

Posté par
med1957 17-11-23 à 12:07

bonjour
merci m aider a commencer cet exercice
en voici l ennoncé :

On dit que f est lipschitzienne de rapport k si pour tous x, y \in I , |f(x) - f(y)| \leq k |x - y| .

Soit I un intervalle fermé, k \in [0, 1[ . f : I \rightarrow I une fonction k -Lipschitzienne.
Démontrer que toute suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} vérifiant u_0 \in I et u_{n+1} = f(u_n) pour tout n \in \mathbb{N} est convergente.
On distinguera les cas où I = [a, b], I = [a, +\infty[, I = ]-\infty, a], et I = \mathbb{R}.

Posté par
carpediemre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 17-11-23 à 17:59

salut

calcule u_{n + 2} - u_{n + 1}

il me semble que l'énoncé est incomplet : n'y a-t-il aucune condition sur k ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 17-11-23 à 18:40

Bonjour,

Citation :
k \in [0, 1[

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 21-11-23 à 22:01

Mais il y a quand même un blème :

Citation :
Soit I un intervalle fermé,
Puis
Citation :
On distinguera les cas où I = [a, b], I = [a, +\infty[, I = ]-\infty, a], et I = \mathbb{R}.

Posté par
carpediemre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 22-11-23 à 11:10

merci Sylvieg (à 18h40) : j'avais mal lu

je ne suis pas certain qu'il y ait (toujours) un pb mais il faut certainement prendre des précautions à un moment donné

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 22-11-23 à 11:28

Je crois que s'intéresser à l'équation f(x) = x peut être utile.
Que pense med1957 de nos messages ?

Posté par
med1957re : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 23-11-23 à 22:39

bonsoir
merci Sylvieg merci carpediem
et je m excuse de ce retard car j avais durant toute cette periode des problemes de connections
c est ce que je pensais Sylvieg il fallait s assurer qu une telle fonction admet un point fixe

si I = [a, b]
g(x)=f(x)-x  g continue sur I = [a, b] ( comme somme de 2 fonctions continues)

g(a)=f(a)-a\geq 0 car f(a) \in [ab]
g(b)=f(b)-b\leq 0 car f(b) \in [ab]

d apres TVI \exists   c \in ]ab[   f(c)=c

donc le probleme de point fixe est assuré  si I = [a, b]

Posté par
med1957re : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 23-11-23 à 22:59

  f  est lipschitzienne de rapport  k  donc  pour tous  x, y \in I ,  |f(x) - f(y)| \leq k |x - y| .
donc pour
x=u_n   et y=c on a
          |f(u_n) - f(c)| \leq k |u_n - c|
donc |f(u_n) - c| \leq k |u_n - c|
soit par recurence
|f(u_n) - c| \leq k^n |u_0 - c|
k^n \to 0 car k \in [0, 1[
et par suite f(u_n) \to c soit u_n \to c

Posté par
med1957re : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 23-11-23 à 23:04

je trouve des problemes si  I = [a, +\infty[,

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 24-11-23 à 07:59

LaTeX est en panne...
Il faut peut-être commencer par justifier que f est continue.

Posté par
med1957re : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 24-11-23 à 09:51

bonjour
merci Sylvieg
il fallait donc montrer que
pour tout a de I
pour tout  A >0 il existe  B>0 tel que |x-a|<=Bdonc |f(x)-f(a)|<=A

or |f(x)-f(a)|<=k|x-a| il suffit donc de prendre (B=A/k)
f est donc continue en a (pour tout a de I)
f est donc continue sur I

Posté par
Sylvieg Moderateurre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 24-11-23 à 11:59

"pour tout A >0 il existe B>0 tel que |x-a|<=B implique |f(x)-f(a)|<=A

Sinon, pourquoi travailler sur |f(un - c| et pas |un - c| ?

Je ne vais plus être disponible avant samedi soir.

Posté par
carpediemre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 24-11-23 à 18:02

je suis là

oui une erreur d'indice il semble, entre l'indice de u et la puissance de k

Posté par
med1957re : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 25-11-23 à 08:39

bonjour carpediem bonjourSylvieg


|u_n - c|=|f(u_{n-1}-f(c)|\leq k|u_{n-1} - c|   soit par recurence
|u_n - c|\leq k^{n-1} |u_0 - c|  
k^{n-1} \to 0 car k \in [0, 1[ et |u_0 - c| est bornée

donc u_n\to c
je trouve des problemes si  I = [a, +\infty[,
pour la continuité meme raisonnement
g(a)=f(a)-a\geq 0 car f(a) \in [a+\infty[
incapable de determiner r \in I tel que f(r)<0

Posté par
carpediemre : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 25-11-23 à 12:15

cas 1 : I = [a, b] : réglé

cas 2 : I = [a, +oo[

cas 3 : I = ]-oo, a] : identique au cas 2


pour le cas 2 :

on peut supposer que f(a) > 0 (quitte à changer f en -f)

a/ : si lim f(x) < 0 (quand x --> +oo[) ou f(I) I

alors on peut conclure comme dans le cas 1 : justifier qu'il existe un réel b tel que f(b) < 0

b/ sinon : à voir


dans tous les cas on peut conclure avec des hypothèses supplémentaires sur f à préciser

Posté par
med1957re : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 25-11-23 à 12:52

bonsoir
merci carpediem

si \lim f(x) < 0alors il existe un intervalle  Jau voisinage de +\infty tel que f soit negative sur J et par suite il existe \beta  \in J     f(\beta) <0 on applique apres TVI  (f(a)>0 et f(\beta)<0)

Posté par
med1957re : suites recurente liée a une fonction k lipschitzienne 25-11-23 à 13:23

en travaillant sur g(x)= f(x)-x   I = [a, +oo[
on a g(a)=f(a)-a \in [a, +oo[ \implies g(a) \geq 0
|f(x)-f(a)|\leq k|x-a| \implies f(x)-f(a)\leq k|x-a|
\implies f(x)\leq k(x-a)+f(a)
\implies f(x)-x\leq k(x-a)+f(a)-x
\implies g(x)\leq x(k-1)+f(a)-ka

et puisque \lim_{+\infty} x(k-1)+f(a)-ka =-\infty  \implies  \lim_{+\infty} g(x)=-\infty        en effet          k-1 <0


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