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Suites, récurrence....
Bonjour à tous!!
Alors voici mon petit problème :
Dans tout le problème n est un entier strictement positif quelconque.
1. On dispose de n boules numérotées de 1 à n et de n+1 casiers numérotés de 1 à n+1.
Chaque casier peut recevoir 0, 1, 2... ou n boules.
a) De combien de façons peut on répartir les n boules dans les n+1 casier :
- au total? ( moi j'ai trouvé (n+1)n)
- de façon que le casier n°1 reste vide? ( j'ai trouvé (n+1)n-1n)
- de façon que le casier n°1 reçoive uniquement la boule n°1? ( j'ai trouvé (n+1)n-1n+1 je ne penses pas que ce soit ça)
- de façon que le casier n°1 reçoive une seule boule? ( j'ai trouvé (n+1)n-12n+1, mais je ne crois pas que ça soit juste)
b) En déduire que : (n+1)n
2nn.
( je ne sais vraiment pas comment procéder pour cette question!)
2. Démontrer par récurrence que si n6, alors : n!
(n/2)n.
Le résultat de la question 1b peut s'avérer utile ici.
( je n'ai toujours pas compris comment ça marche les récurrence surtout de ce type la, lorsque c'est des égalités je comprend mieux mais là...)
Voilà voilà, en attendant une petite réponse, je vous remercie tous d'avance pour l'aide que vous apportez à tout le monde!
a+++
Bonjour Andréa, 
a) De combien de façons peut on répartir les n boules dans les n+1 casier :
- au total? (Bien c'est (n+1)n)
- de façon que le casier n°1 reste vide?
en fait, il ne reste plus que n choix pour répartir les boules soit nn possibilités.
- de façon que le casier n°1 reçoive uniquement la boule n°1?
Il reste n-1 boules à placer entre les n autres casiers donc nn-1
- de façon que le casier n°1 reçoive une seule boule?
Il y a n boules possibles à placer dans le casier 1, les n-1 autres boules sont à placer dans les n casiers restants. Soit :
n*nn-1=nn
b) En fait la dernière question consiste à dire que le nombre total de possibilités est supérieur au nombre de façon de placer les boules de façon que le casier n°1 reste vide ou ne contienne qu'une seule boule. En effet le casier 1 pourrait aussi en contenir 2 ou plus.
2. Il suffit de le montrer pour n=6.
Ensuite on suppose l'inégalité vraie pour un rang p, et on doit le démontrer au rang p+1.
En fait
(p+1)!=(p+1)*p!(p+1)(p/2)p et on utilise ici la question 1b.
Je te laisse le faire ici.
@+
Bonsoir!
Alors je viens vous poser une petite question au sujet de ce DM...Je suis dans la meme classe que Andréa, elle me reconnaitera 
Je voudrais savoir pourquoi dans la question 1-a), lorsque l'on demande de trouver le nombre de façon possibles pour que le casier n°1 ne reçoive que la boule 1, le résultat obtenu est n^(n-1)
J'ai procédé de la meme manière, a savoir qu'il reste (n-1) boules a placer dans les n casiers, a la différence qu'il y'a encore 1 seule possibilité pour le casier 1 car il ne peut recevoir qu'une seule boule bien définie...J'ai donc trouvé [n^(n-1)+1]...
Est ce que ce résultat est finalement correct?
Je vous remercie d'avance de bien vouloir répondre a ma question!
En attendant, je vous remercie d'apporter voutre soutien a de nombreux élèves!Merci pour tout
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