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suites récurrente
Bonjour,
J'ai un petit problème, mais j'ai du mal avec les suites récurrentes ...
Soit Sn = 
1 / ( p( p + 1)). Pour la somme, au dessus du symbole il y'a n et en dessous p = 1.
Je dois démontrer par récurrence que Sn = n/(n+1).
En prenant, n = 1 on a Sn = 0.5. donc c'est vraie pour le premier rang, maintenant je suppose que c'est vrai pour Sn = n/(n+1). Je dois donc vérifier pour Sn+1. cependant, là je suis coincé...
A la question suivante je suis aussi bloqué : en parant de 1/p - 1/(p+1) je dois trouver une autre méthode pour démontrer que Sn = n/(n+1)
Help !
S(n+1)=Sn+ 1/(n+1)(n+2)
=[n/(n+1) +1/(n+1)(n+2) on reduit au meme denom
=n(n+2)+1]/(n+1)(n+2)
=(n²+2n+1)/(n+1)(n+2)
=(n+1)²/(n+1)(n+2) on simplifie par (n+1)
=(n+1)/(n+2)
1/p -1/(p+1)= (p+1-p)/p(p+1)=1/p(p+1) (1)
Sn= 1/1*2 +1/2*3 +1/3*4 +-----------+1/(n-1)n + 1/n(n+1)
d'apres (1) on a:
1/1*2= 1/1 -1/2
1/2*3 = 1/2 - 1/3
1/3*4 =1/3 -1/4
.
.
.
.
.
1/((n-1)n =1/(n-1) - 1/n
1/n(n+1)= 1/n - 1/(n+1)
en additionnant membre à membre ces egalites on obtilnt:
Sn = 1 - 1/(n+1) on reduit au meme denom
Sn=(n+1-1)/(n+1)
Sn= n/(n+1)
1/((n-1)n =1/(n-1) - 1/n
1/n(n+1)= 1/n - 1/(n+1)
en additionnant membre à membre ces egalites on obtilnt:
---> peux tu réexpliquer ce passage ?
1/1*2 +1/2*3+1/3*4+----------+1/(n-1)n+1/n(n+1)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4---------+
1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)
le 1er membre est Sn
dans le 2eme membre on remarque que 1+(-1/2+1/2)+(-1/3+1/3)+------+(-1/n+1/n)-1/(n+1) qui s'annulent deux à deux
d'ou Sn=1- 1/(n+1)
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