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suites sujet 2 exercice 2

Posté par
Nelcar
28-03-21 à 17:19

Bonjour,
Voici l'exercice 2 du sujet 2
Alors là je peux vous dire que je n'y comprend rien trop compliqué
On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :
u0=v0=1
un+1=un+vn
vn+1=2un+vn
Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites (un) et (vn) sont strictement positives
1a) calculez u1 et v1
b) démontrer que la suite vn est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel n, vn1
c) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : unn+1
d) en déduire la limite de la suite (un)

Je m'arrête là pour l'instant (d'abord cette première partie)

j'ai essayé mais je ne suis pas sûr de mes résultats pour le
1) j'ai trouvé
u1=1+1=2
v1=2*1+1=3

avant d'aller plus loin j'aimerai savoir si c'est bon ou pas de plus je n'arrive pas à les rentrer dans ma calculatrice TI 83 premium

MERCI

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 17:27

Oui  u_1=2 et v_1=3

 (v_n) croissante,  c'est sans problème

Posté par
Kolaas29
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 17:27

Bonjour,

Oui tes premiers calculs sont corrects.
Tu peux très bien faire l'exercice sans calculatrice, mais si tu souhaites saisir les suites, peut-être que ce tutoriel (valable pour les TI 83+, certes anciennes) pourra t'aider :

http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/320_ti83plus.pdf


S'il n'est pas adapté, je te laisse le soin de chercher sur Google un tuto pour 83 Premium

Posté par
Kolaas29
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 17:29

hekla @ 28-03-2021 à 17:27


 (v_n) croissante,  c'est sans problème


Voilà qui est clair, concis et pédagogique !

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 17:38

Pourquoi  ?
Qu'est-ce qui vous gêne  ? C'est aussi pour dire qu'il ne faut pas chercher midi à 14 h.  C'est tout bête comme démonstration. Oui encourager quelqu'un c'est bien pédagogique  

Posté par
Nelcar
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 18:20

Merci pour le site je regarderai plus tard car là elle charge (plus de batterie)

hekla : je ne sais pas si tu as vu ce sujet mais j'ai l'impression que je ne sais rien faire dessus

donc question 1
donc u1=2
et v1=3

pour 1b) donc la suite (vn) est croissante
puis en déduire que, pour tout entier naturel n, vn1
comme v0=1 donc vn1
c) je n'arrive même pas à faire la récurrence
j'ai commencé
uo=1 donc u01 donc P(o) est vraie
on suppose P(k) et vraie, c'est à dire que ukk a-t-on alors P(k+1) vraie aussi c'est-à-dire uk+1k+1 ?
P(k) est vraie alors ukk
mais après je suis perdue je ne sais quoi prendre

MERCI

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 18:57

 (v_n) croissante,  car v _{n+1}-v_n=2u_n et pour tout n,\  u_n>0

Puisque (v_n) est strictement croissante, elle est donc minorée par son premier terme v_0 soit 1

C'est une chose que l'on  oublie souvent

 u_0=1  donc u_0\geqslant 0+1 P(0) vraie

on suppose que u_n \geqslant n+1 et on montre qu'alors u_{n+1}\geqslant n+2

u_{n+1}= u_n+v_n par conséquent u_{n+1}\geqslant n+1 +1 soit    u_{n+1}\geqslant n+2

On a montré alors que P(n)\Rightarrow P(n+1)   donc la proposition est vraie pour tout n

d) Étant minorée par une suite tendant vers +\infty,  la suite (u_n ) tend vers +\infty


Question 2  \left\vert\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}

d'où  -\dfrac{1}{u_n^2}\leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\leqslant  \dfrac{1}{u_n^2}

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}  \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0 encadré par deux éléments tendant vers 0

\displaystyle \lim_{n\to +\infty} r_n^2=\lim_{n\to +\infty}2+ \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=2

Par conséquent  \displaystyle \lim_{n\to +\infty}  r_n=\sqrt{2}

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 18:59

On ne peut pas dire que le sujet des suites soit très folichon et surprend un peu.  L'auteur du sujet a dû se faire plaisir.

Posté par
Nelcar
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 19:49

hekla,
tu as mis toute la correction de la question 2)

j'avais que je n'y comprend rien de rien
pour le a) c'est quoi la réponse ?

si je comprends bien tu as mis les réponse jusque le c)

si tu peux me mettre les deux autres car je n'y comprend rien
Si j'ai un sujet comme cela ce n'est même pas la peine

MERCI

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 20:25

Pour la 1 a) c'est bien ce que vous avez écrit u_1=2 et v_1=3

Si l'on veut jouer sur les mots je n'ai pas mis la correction, j'ai mis une solution possible en particulier pour montrer que, bien que le texte soit déroutant,  il n'est pas infaisable.
Je ne sais pas ce que l'on peut apprécier en donnant un tel texte.

C'est aussi un moyen de vous montrer qu'il ne faut pas s'acharner sur un exercice  ou sur une question. Cela vous permet de gérer votre temps.

Posté par
Nelcar
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 21:02

oui c'est déroutant de voir un tel sujet.

Si vous pouvez regarder la question a sur Python

Merci
bonne soirée et à demain (cette semaine je suis chez moi)

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 21:07

Montrons que r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}

r_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}}= \dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}

Mettons u_n en facteur au numérateur et au dénominateur

r_{n+1}=\dfrac{u_n\left(2+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}{u_n\left(1+\dfrac{v_n}{u_n}\right)}

On peut simplifier par u_n et rempacer \dfrac{v_n}{u_n} par sa valeur r_n

 r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n} Q.E.D.

e) la distance entre r_5 et  \sqrt{2}  est inférieure à 10^{-4}

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 28-03-21 à 21:27

2) On pose, pour tout entier naturel n :

r_n = \dfrac{v_n}{u_n}.

On admet que :

r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}

a)Démontrer que pour tout entier naturel n :

- \dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}.
b)En déduire :

\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}.

c)Déterminer la limite de la suite \left(r_n^2\right) et en déduire que \left(r_n\right) converge vers \sqrt{2}.
d)Démontrer que pour tout entier naturel n,

r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.

e) On considère le programme suivant écrit en langage Python :


\text{def seuil}():
 \\ \qquad  n=0 
 \\ \qquad  r=1\\
 \\ \qquad \text{while  } abs(r-sqrt(2)) >10**(-4) :
 \\ \quad \qquad r = (2+r)/(1+r)
 \\ \quad \qquad n = n+1
 \\ \qquad\text{ return } n\\ \hline
 \\


(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10** (-4)\text{représente  }10^{-4}).
La valeur de n renvoyée par ce programme est 5.
À quoi correspond-elle ?

Posté par
Nelcar
re : suites sujet 2 exercice 2 29-03-21 à 09:35

Bonjour hekla,

Si tu peux me donner la solution pour le Python
tu as mis :
la distance entre r_5 et  2  est inférieure à 10-4
c'est donc ça ?

Cet exercice est infaisable pour moi. Enfin !

Merci beaucoup

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 29-03-21 à 10:21

Bonjour Nelcar

C'est ce que je pense.

\vert r_n-\sqrt{2}\vert définit bien une distance et on veut qu'icelle soit inférieure à 10^{-4} puisque le fait d'être inférieure à 10^{-4} provoque l'arrêt.

En grattant un peu, on arrive à trouver des questions faisables.

Posté par
Nelcar
re : suites sujet 2 exercice 2 29-03-21 à 11:26

Bonjour Hekla,

tu sais pour moi il n'était pas faisable c'est exercice. Tu comprends pourquoi j'ai peur pour mon bac blanc la semaine prochaine.

MERCI encore

Posté par
hekla
re : suites sujet 2 exercice 2 29-03-21 à 11:57

Ce n'est pas souvent,  pour ne pas dire rarement que l'on voit ce genre d'exercices. Il faut y aller sereinement et ne pas commencer à paniquer. Ce serait le plus sûr moyen de tout gâcher.
Vous savez un certain nombre de choses et votre travail y pourvoit.
Le bac est un examen, ce n'est pas un concours.

Posté par
Nelcar
re : suites sujet 2 exercice 2 29-03-21 à 13:05

oui je sais, on verra bien

mais j'avoue que j'ai peur d'avoir une sale note car je viens de louper carrément un DS (j'avais été souffrante , j'avais regardé évidemment de moi même mais je suis tombée sur quelque chose que je n'avais pas encore travaillé sur les équations différentielles sous forme de problème).

MERCI encore de votre aide



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