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Suites tendant vers "e"

Posté par simonosaxo (invité) 07-02-06 à 21:16

Bonjour,
voilà j'ai quelques soucis avec cet exercice...j'implore votre aide en vous remerciant d'avance...

On considère 2 suites U et V définies sur \mathbb{N}* par:

u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}
et v_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{2}{n!}

1.a)Démontrer que ces 2 suites sont adjacentes

là,je pense qu'il y a pas trop de soucis,j'ai montré que U était croissante,que V était décroissante, que V-U=0 et que \lim_{n\to +\infty} v_n-u_n=0

b)Que peut-on en déduire?

j'en ai déduit ici que U et V étaient toutes 2 convergentes vers une limite réelle notée l

C'est ici que cela se complique...

2.Soit n un entier naturel non nul;on considère les 2 fonctions définies sur \mathbb{R} par:

f_n=(x)1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}-e^x   et   g_n=(x)1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+2\frac{x^n}{n!}-e^x

a)Soit la fonction \phi définie sur \mathbb{R} par \phi(x)=\frac{x^k}{k!}
Calculer la dérivée de \phi puis en déduire les dérivées de f_{n+1} et g_{n+1}

b)Etudier les variations de f_1 sur [0;+\infty[:en déduire le signe de f_1(x) sur [0;1]
Etudier les variations de g_1 sur [0;+\infty[:en déduire le signe de g_1(x) sur [0;1]

c)Déterminer par récurrence le signe de f_n(x) sur [0;1]
Déterminer par récurrence le signe de g_n(x) sur [0;1]

d)En déduire un encadrement de e^x pour tout x > 0 et pour tout n \in \mathbb{N}*

3.Que peut-on en conclure concernant la convergence des suites U et V.
Le nombre 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{19!}+\frac{1}{20!} est une valeur approchée par ... du nombre ...
Quelle est la précision maximum de cette approximation?

Merci d'avance.

Posté par
Cauchyre : Suites tendant vers "e" 07-02-06 à 23:07

Bonsoir,
ou est ce que tu bloques dans la 2eme partie?

Posté par simonosaxo (invité)re : Suites tendant vers "e" 08-02-06 à 07:27

je bloque très sérieusement à partir du 2.c) mais si vous jetez un oeil sur les 2.a) et b) c'est pas de refus parce que je ne suis pas très sûr de moi...

Posté par
Youpire : Suites tendant vers "e" 08-02-06 à 11:28

Bonjour

pour le 2)a)
3$ \phi ^' (x)=\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}
on en déduit : 3$ f_{n+1}^'=f_n et 3$ g_{n+1}^'=g_n

pour le 2)b)
f_1^'(x)=f_0(x)=1-e^x et sur [0,+\infty[, \rm ~~1-e^x \le 0
donc f_1 est décroissante sur [0;1] et f_1(0)=0   \Longrightarrow f_1 \le 0 sur [0;1]

g_1^'(x)=g_0(x)=2-e^x  sur [0,ln2[, \rm ~~2-e^x > 0   et sur [ln2,+\infty[, \rm ~~2-e^x \le 0
donc g_1 est croissante sur [0;ln2] et décroissante sur  [ln2;1]
on dresse le tableau de variation (il y a un max pour x=ln2) et on conclut que sur [0;1] g_1 est   une fonction poisitive car g_1(0)=1 et g_1(1)=3-e  \Longrightarrow g_1(0)>0 et g_1(1)>0

Posté par
Youpire : Suites tendant vers "e" 08-02-06 à 11:47

pour le 2)c)
Montrons par récurrence que 3$ \forall n\in \mathbb{N}^*,\rm f_n \le 0 \rm pour x\in[0;1]
on a montré que c'était vrai au rang 1 (question 2-b)
on suppose que 3$ \forall n\in \mathbb{N}^*,\rm f_n \le 0 \rm pour x\in[0;1] montrons alors que 3$ \forall n\in \mathbb{N}^*,\rm f_{n+1} \le 0 \rm pour x\in[0;1]
on sait que :
f_{n+1}^'(x)=f_n(x)
or f_n(x) \le 0 sur [0;1] par hypothèse
donc f_{n+1} est décroissante sur [0,1] et comme f_{n+1}(0)=0 alors f_{n+1}\le 0 sur [0;1]
on en conclut 4$ \fbox{\forall n\in \mathbb{N}^*,\rm f_n \le 0 \rm pour x\in[0;1]}

de la même manière:
pour g_n on veux montrer par récurrence que 3$ \forall n\in \mathbb{N}^*,\rm g_n \ge 0\rm pour x\in[0;1]
on a montré que c'était vrai au rang 1 (question 2-b)
on suppose que 3$ \forall n\in \mathbb{N}^*,\rm g_n \ge 0 \rm pour x\in[0;1] montrons alors que 3$ \forall n\in \mathbb{N}^*,\rm g_{n+1} \ge 0 \rm pour x\in[0;1]
on sait que :
g_{n+1}^'(x)=g_n(x)
or g_n(x) \ge 0 sur [0;1] par hypothèse
donc g_{n+1} est croissante sur [0,1] et comme g_{n+1}(0)=1 alors g_{n+1}\ge 0 sur [0;1]
on en conclut 4$ \fbox{\forall n\in \mathbb{N}^*,\rm g_n(x) \ge 0 \rm pour x\in[0;1]}

Posté par simonosaxo (invité)re : Suites tendant vers "e" 13-02-06 à 17:41

J'ai un petit problème avec la toute dernière question,celle où il m'est demandé la précision maximum de cette approximation...
On a prouvé:
u_n \le e \le u_n+\frac{1}{n!}
\Longrightarrow u_{20} \le e \le u_{20}+\frac{1}{20!}

On pourrait donc penser que la précision maximum de cette approximation est \frac{1}{20!}

Or,mon porfesseur nous a donné une petite indication en nous expliquant qu'on pouvait donner une meilleure précision et que cette dernière était \frac{2}{21!}

Je n'arrive à démontrer ce résultat...merci d'avance pour votre aide...

Posté par
Youpire : Suites tendant vers "e" 13-02-06 à 18:07

oui car on sait également que pour tout n, 3$ e \le v_{n} donc 3$ e \le v_{21}
donc on peut légitimement écrire:
3$ u_{20} \le e \le v_{21}
or 3$ v_{21}=u_{20}+\frac{2}{21!}

à toi de conclure.

Posté par simonosaxo (invité)re : Suites tendant vers "e" 13-02-06 à 19:14

mais pourquoi est ce la meilleure précision...
on aurait pu aussi prendre V22...

Posté par
Youpire : Suites tendant vers "e" 13-02-06 à 19:59

non car v_{22}=u_{20}+\frac{1}{21!}+\frac{2}{22!}
et \frac{1}{21!}+\frac{2}{22!} > \frac{2}{21!}

Posté par
Youpire : Suites tendant vers "e" 13-02-06 à 20:02

En fait non j'ai dit une bétise !


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