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suites trop dur...
bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice...pourrait-on m'aider
svp??
Soit I l'intervalle [0 , 1] .
On considère la fonction f définie sur I par
f(x) = (3x+2)/(4+x)
1. etudier les variations de f et en déduire que , pour tout x élément
de I , f(x) appartient à I.
2. on considère la suite (Un) définie par U(n+1)= f(Un) et Uo= 0
Montrer que , pour tout n , Un appartient à I.
On se propose d'étudier la suite (Un) par deux méthodes différentes
.
3. 1ère méthode :
b. etablir la relation U(n+1) -Un = [(1-Un)(Un+2)/(Un+4)]
et en déduire le sens de variatons de la suite (Un).
d.démontrer que la suite (Un) est convergente.
e. prouver que la limite l de la suite (Un) vérifie l= f(l) et calculer
l.
4. 2ème méthode:
On considère la suite (Vn) définie par Vn= (Un-1)/(Un+2)
a. prouver que (Vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier
terme et la raison r .
b. en déduire la convergence de la suite (Vn) puis la limite de Un.
je vous remercie beaucoup.
Bonjour courteney,
1. Pour étudier les variations de f, on calcule la dérivée de f.
f'(x) = 10/(x+4)²>0.
Donc f est strictement croissante sur I.
f(0)=1/2 et f(1)=1
donc f(x) appartient à l'intervalle [1/2;1] (inclus dans l'intervalle
I).
2. On montre, par récurrence, que , pour tout n , Un appartient à I.
A toi de le faire.
3. 1ère méthode :
b. La relation U(n+1) -Un = [(1-Un)(Un+2)/(Un+4)] est plutôt facile
à obtenir.
1-Un>0 car Un appartient à I.
Un+2>0 car Un>0, de même pour Un+4.
Donc U(n+1)-Un>0 donc La suite Un est croissante.
d.La suite (Un) est convergente car croissante et majorée par 1.
e. La limite l de la suite (Un) vérifie l= f(l) (c'est du cours)
et pour calculer l, il faut résoudre l'équation correspondante.
4. 2ème méthode:
a) On calcule V(n+1)/Vn et on montre que c'est une constante.
b. (Vn) est convergente si sa raison est comprise entre -1 et 1.On peut
ensuite en déduire Un en fonction de Vn et en déduire la limite de
Un.
Voilà quelques indications pour t'aider.
@+
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