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Sujet De Bac S d'après Nouvelle Calédonie, decembre 2001
Bonjour,
J'ai un DM a faire sur les vecteurs de l'espace, cepedant je n'arrive pas à terminer les questions, malgrè la méthode apprise.
Voila l'exercice:
L'espace est rapporté au repère (O;i;j;k). Les points A,B,C et D ont pour coordonnées :
A(-1 ;0; 2) , B(3 ;2; -4), C(1; -4 ;2) et D(5; -2 ;4).
On considère les points I,J et K où I est le milieu du segment [AB], K le milieu du segment [CD] et (vecteur)BJ = 1/4(vecteur)BC.(désolé je ne sais pas mettre la flèche pour les vecteurs).
1) Déterminer les coordonnées de I, J et K.
2) Montrer due I, J et K ne sont pas alignés.
3)On considère le point L défini par (vecteur)AL=1/4(vecteur)AD
Déterminer les coordonées du point L.
4) Montrer quer les points I, J, K et L sont coplanaires. En déduire l'intersection du plan (IJK) et de la droite (AL).
Voila.
J'ai réussi le début:
1) Le point I a pour coordonées (1;1;-1). Le point K (3;-3;3) et J (5/2;1/2;-5/2).
2) Pour la deuxieme je commence a beuguer. Je sais qu'il faut démontrer par la colinéarité qu'ils ne sont pas alignés.
J'ai fait (vecteur)IJ a pour coordonées (3/2;-1/2;-3/2) et (vecteur)IK a pour coordonées (2;-4;4).
Pour qu'ils soient alignés, il faut que (vecteur)IJ=a.(vecteur)JK avec a un réel. Aprés je ne sais pas.
3)(vecteur)AL=1/4(vecteur)AD
Les coordonées de l sont donc (1/2;-1/2;5/2)
4) Et la quatrieme je ne sais pas du tout a par que pour que des points soient coplanaire, il faut que les vecteurs partent du meme point.
Je vous remercie de votre aide et désolé si je sais pas tellement me servir du forum je viens de m'y inscrire. Encore Merci.
Bonjour,
1) Bon
2)
Coordonnées du vect IJ(3/2;-1/2;-3/2)
....................IK(2;-4;4)...sauf erreurs.
Existe-t-il un réel k tel que :
3/2=2*k--->k=3/4
-1/2=-4*k--->k=1/8
-3/2=4*k
Non , il n'existe pas .... donc les vecteurs IJ et IK ne sont pas ...etc.
3) Bon.
4)
Les points I, J et K ne sont pas alignés donc les vect IJ et IK déterminent un plan.
Le point L appartient à ce plan si l'on peut montrer , par exemple , que :
IL=x*IJ+y*IK
On a IJ(3/2;-1/2;-3/2)
et IK(2;-4;4)
Il nous faut les coordonnées de IL(-1/2;-3/2;7/2)
Avec i, , j et k les vecteurs unités , la condition :
IL=x*IJ+y*IK
donne :
(-1/2)i-(3/2)j+(7/2)k=x[(3/2)i-(1/2)j-(3/2)k]+y(2i-4j+4k) soit :
(-1/2)i-(3/2)j+(7/2)j=(3x/2+2y)i + (-x/2-4y)j + (-3x/2+4y)k
IL et xIJ+IK sont égaux si leurs coordonnées sont égales . On obtient le système :
3x/2+2y=-1/2 soit : 3x+4y=-1-->L1
-x/2-4y=-3/2 soit : x+8y=3--->L2
-3x/2+4y=7/2 soit : -3x+8y=7--->L3
On résout le système donné par L1 et L2 qui donne : x=-1 et y=1/2
Ces 2 valeurs vérifient L3 car : -3(-1)+8(1/2)=7
donc IL=-IJ+(1/2)IK
ce qui prouve que I, J, K et L sont coplanaires.
A+
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