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Sujet de TS analyse

Posté par
Slpok 20-01-19 à 20:07

Bonsoir,

Ma prof de maths m'a proposé de faire un sujet de TS assez difficile, puisque j'aime les maths que ça m'intéresse, et je me retrouve bloqué sur certaines questions. Le sujet est assez long donc je vais pas développer les calculs quand j'arrive à la conclusion attendue (désolé je sais que ça déroge un peu à la règle du "énoncé complet").

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}) d'unité graphique 2cm.
Partie A :

Soit f la fonction définie sur [0,1[ par : f(x)=1-x^2+ln(1-x).

1)Etudier la fonction f et représenter graphiquement sa courbe C_f.

==> On dérive f : f'(x)=-2x-\frac{1}{1-x}, somme de termes négatifs donc toujours négative. Donc f(x) décroissante sur [0,1[ avec f(0)=1, et \lim_{x\rightarrow1}=-\infty.

1)b) Montrer que l'éq. f(x)=0 admet une solution unique \alpha. Verifier que \alpha \in [1/2, \befta] avec \beta=1-1/e

==> Oui, avec le TVI.

2) Soient p et q les fonctions définies sur I=[1/2, \beta] par p(x)=|{f'(x)}| et q(x)=|f''(x)|. Étudiez les variations de p et de q et dresser leurs tableaux de variations.

==> On a p(x)=2x+\frac{1}{1-x} et q(x)=2+\frac{1}{(1-x)^2}, si on re-dérive : p'(x)=2+\frac{1}{(1-x)^2} et q'(x)=\frac{2}{(1-x)^3}.

On a p'(x)>0, donc p(x) croissant sur I avec p(1/2)=3 et p(\beta)=e+2(1-\frac{1}{e}. On cherche quand q'(x)>0 soit quand x<1 donc q'(x)>0 sur I car I est compris dans ]-\infty,1]. Donc q(x) croissant sur I avec q(1/2)=6 et q(\beta)=2+e^2.

A partie de là j'ai plus de mal.

En déduire que \forall x, y \in I, \frac{|f''(x)|}{|f'(y)|}\leq M avec M=\frac{e^2+2}{3}.

Je justifie juste en disant que \forall x \in I: 3 \leq |f'(x)| et |f''(x)| \leq e^2 +2. Donc c'est bon.

Mais je sais pas j'ai pas l'impression que ça soit suffisant.

3) Soit t un élément de ]\alpha,1[.
a) Calculer \int_{\alpha}^{t}{ln(1-x)dx}.
b) Calculer \int_{\alpha}^{t}{f(x)dx} et montrer que \lim_{t\rightarrow 1}\int_{\alpha}^{t}{f(x)dx}=P(\alpha) où P est un polynôme à déterminer.

3)a) Je pose u=1-x on a \int_{\alpha}^{t}{ln(1-x)dx}=\int_{\alpha}^{t}{-ln(u)du}. J'arrive pas à continuer...
b) Aucune idée.

Y'a encore 2 parties, j'attends d'abord vos réponses puis je posterai le reste.

Posté par
gerrebare : Sujet de TS analyse 20-01-19 à 20:28

Bonsoir,
Si on change de variable,les bornes changent aussi..
Primitives de U'V=UV-Primitives de UV' qu'il faut adapter à 1*lnU où U est la nouvelle variable....

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 20-01-19 à 20:50

Ok je vois,

donc ça donnerai qqch du genre : t\times ln(-t+1)-t-ln(-t+1)+a+ln(-a+1)-aln(-a+1) ?

Posté par
gerrebare : Sujet de TS analyse 20-01-19 à 21:13

On démontre que f(x)=lnx a pour primitives F(x)=xlnx-x+C  pour x>0

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 20-01-19 à 21:20

Je comprends pas ce que tu veux dire

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 22-01-19 à 23:37

up?

Posté par
Zormuchere : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 01:26

Bonsoir
Je suppose d'après tes précédents messages que tu connais une primitive de ln(x)
sinon, si tu connais la formule de l'intégration par partie, tu peux simplement calculer l'intégrale en écrivant 1*ln(1-x)

Posté par
Zormuchere : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 01:28

En fait, à ma connaissance, les seules façons de résoudre ce type d'intégrale avec un niveau terminale voire bac+1, c'est
-d'utiliser l'intégration par partie (utile à connaître, elle était il y a quelques années au programme TS)
-connaître "par cœur" une primitive de ln(x) qui est xln(x)-x+983

Posté par
Zormuchere : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 01:28

Citation :
les seules façons de résoudre


... calculer bien entendu

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 11:08

Bonjour,

  

Citation :
donc ça donnerai qqch du genre : t\times ln(-t+1)-t-ln(-t+1)+a+ln(-a+1)-aln(-a+1) ?


Oui, ou encore:

  \int_a^t\ln\,(1-x)\,\text{d}x=(t-1)\ln\,(1-t)-t+(1-a)\,\ln\,(1-a)+a

or tu sais que f(a)=0 donc que \ln\,(1-a)=a^2-1

  Tu remplaces.

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 17:01

Ok je crois que j'ai réussi de mon côté, sachant que j'ai étudié un peu l'IPP de mon côté et que j'arrive pas à comprendre pourquoi c'est pas dans le programme... ça à l'air tellement utile!

Bref,

Soit u=ln(1-x) et v=1-x, on a donc u'=-\frac{1}{1-x} et v'=-1, donc :
\int_{\alpha}^{t}{ln(1-x)dx}=-\int_{\alpha}^{t}{uv'dx}=-[uv]_{\alpha}^t + \int_{\alpha}^{t}{u'vdx}=[-x-(1-x)ln(1-x)]_\alpha ^t.

Pour la b) je suis pas sur de voir :/
On a : \int_{\alpha}^{t}f(x)dx=\int_{\alpha}^{t}{(1-x^2)dx}+\int_{\alpha}^{t}{ln(1-x)}dx.

J'en ai fait part à ma prof qui n'avait pas vraiment le temps, et elle m'a dit que je devrais regarder pour décomposer cet intégral en somme d'une fonction avec deux variables différentes, ça me parait bien énigmatique...
Je pense que les variables sont alpha et t, mais je vois pas bien commencer...

Je peux ecrire ceci ?
\int_{\alpha}^{t}{f(x)}dx=g(t)+g(\alpha) ? comment trouver g ?

Posté par
carpediemre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 18:07

salut

Slpok @ 23-01-2019 à 17:01

Pour la b) je suis pas sur de voir :/
On a : \int_{\alpha}^{t}f(x)dx=\int_{\alpha}^{t}{(1-x^2)dx}+\int_{\alpha}^{t}{ln(1-x)}dx.
je ne comprends pas ...

la première intégrale ben on cherche une primitive d'un polynome ... pas de pb ...

la deuxième intégrale ben tu viens de le faire ... pas de pb ...


pas de pb + pas de pb = toujours pas de pb ... (c'est à partir de trois qu'il peut commencer à y avoir des pb )

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 20:08

Ah d'accord, c'est bon je resitue :p

On a donc :

\int _a^t\:\left(1-x^2\right)dx=t-\frac{t^3}{3}-(a-\frac{a^3}{3})

\int _a^t f(x)dx = t+\frac{-t^3+a^3}{3}-a +(t-1)\ln\,(1-t)-t+(1-a)\,\ln\,(1-a)+a

On utilise ln(1-\alpha)=\alpha^2-a et je trouve P(x)=\frac{-2}{3}x^3+x^2+x-4/3.

Ca me parait bon.

PARTIE B

Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit g une fonction définie sur l'intervalle [a, b] et deux fois dérivable.
Soit k un réel fixé. On considère la fonction G définie sur [a, b] par :
\forall x \in [a, b], G(x) = g(a)-g(x)-(a-x)g'(x)-\frac{1}{2}k(a-x)^2

1) Calculer G(a). Déterminer k pour que G(b) soit égal à 0.
b) En appliquant le théorème des accroissements finis à G dans l'intervalle [a,b], montrer qu'il existe un réel c dans  ]a,b[ tel que G'(c)=0.
En déduire que : g(a)=g(b)+(a-b)g'(b)+0.5(a-b)^2 g''(c).

G(a)=g(a)-g(a)-(a-a)g'(a)-0.5k(a-a)^2=0 \Rightarrow
G(b)=0 \Rightarrow g(a)-g(b)-(a-b)g'(b)-0.5k(a-b)^2=0 \\ \Rightarrow -0.5k(a-b)^2=-g(a)+g(b)+g'(b)a-g'(b)b &\Rightarrow k=\frac{-g(a)}{-0.5(a-b)^2}+\frac{g(b)}{-0.5(a-b)^2}+\frac{g'(b)a}{-0.5(a-b)^2}-\frac{g'(b)b}{-0.5(a-b)^2} \\ &\Rightarrow \frac{-g(a)+g(b)+g'(b)a-g'(b)b}{-0.5(a-b)^2} &\Rightarrow \frac{-2(-g(a)+g(b)+ag'(b)-bg'(b)}{(a-b)^2}.

Donc k=\frac{2}{(a-b)^2}[g(a)-g(b)-(a-b)g'(b)].

Je connais pas le théorème des accroissements finis quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
carpediemre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 20:11

ben peut-être aller voir sur le net ce qu'il dit ... puis ensuite si tu as des questions on te répondra volontiers ...

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 21:10

On a G continue dérivable sur [a,b]. Le théorème nous dit qu'il existe c \in ]a,b[ tel que G(b)-G(a)=(b-a)G'(c).

Par où je commence ?

Posté par
carpediemre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 21:18

n'as-tu pas calculé G(a) et G(b) ?

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 21:23

Oh d'accord, désolé il se fait tard j'aurai du avoir le déclic la dessus...

Donc il existe un réel c dans l'intervalle ]a,b[ tel que G(b)-G(a)=(b-a)G'(C) c'est à dire G'(c)=0.

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 21:28

De plus \forall x \in [a,b], G'(x)=-(a-x)g''(x)+k(a-x), on en déduit donc que G'(c)=0 est équivalent à  g''(x)=k soit

\frac{2}{(a-b)^2}[g(a)-g(b)-(a-b)g'(b)]=g''(c) ou g(a)-g(b)-(a-b)g'(b)=0.5(a-b)^2 g''(c) donc g(a)=g'b)+(a-b)g'(b)+0.5(a-b)^2g''(c)

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 21:34

Je posterai la dernière partie demain, elle est vraiment compliquée j'ai pas la foi de m'y attaquer maintenant. Bonne soirée

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 21:48

Pour l'instant tout va bien et ton polynôme P de 20h08 est correct.

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 23-01-19 à 23:58

Vu que j'ai du temps finalement..
Je n'avais pas donné une question qui était "indépendante" (et que j'avais réussi), mais il va falloir la réutiliser dans la partie C visiblement donc je vous donne mes réponses :

Soient u et v deux réels tels que u<v. Soit h une fonction définie dans un intervalle ouvert contenant l'intervalle J=[u,v], dérivable jusqu'à l'ordre 2 et ayant u comme unique zéro dans J. On suppose que h est négative sur J ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre 2 et que \forall x \in J, h'(x) \neq 0.
On considère la fonction T définie sur J par T(x)=x-\frac{h(x)}{h'(x)}.

Soit a un élément de J et A le point d'abscisse a de la courbe C_h représentative de h dans le repère (O, \vec{i}, \vec{j}. Vérifier que T(a) est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à C_h en A avec l'axe des abscisse.
Montrer que T est dérivable dans J et monotone, dresser son tableau de variation. En déduire que T(J)\subset J.

Rapidement, la tangente en A à C_h a pour eq. y=h'(a)(x-a)+h(a). On pose égale à 0, et on trouve x=a-\frac{h(a)}{h'(a)}=T(a).

T est le rapport de deux fonctions dérivable donc est dérivable. On peut alors écrire T'(x)=1-\frac{h'(x)^2-h(x)h''(x)}{h'(x)^2}=\frac{h(x)h''(x)}{h'(x)^2}. On a une dérivé positive sur J, donc T(x) est croissante. On a T(u)=u, et T(v)=v-\frac{h(x)}{h'(v)} qui est forcément inférieur à v car h/h' \geq 0 . Donc T(J) varie de u à T(v) qui est forcément inclut dans [u,v]=J.

On pose x_0=v et pour tout entier naturel n, x_{n+1}=T(x_n)
b) Montrer que la suite (x_n)_{n\in \mathbb{N}} est bien définie et bornée. Verifier qu'elle est monotone, déduire sa convergence, et calculer sa limite.

Pour le coup ça c'est du basique terminal, récurrence quasi direct pour montrer que la suite est bien définie et contenue dans J donc bornée. .
Si la propriété est vraie pour un rang n donné, c'est à dire si x_n existe et appartient à J, alors xn+1 = T(xn) existe et appartient bien à J car T(J) est contenu dans J. Donc la proprié est vraie au rang suivant n+1.

Pour le reste on a : \forall n \ion \mathbb {N}, x_{n+1}=T(x_n)=x_n-\frac{h(x_n)}{h'(x_n)} est \leq 0. Donc la suite est décroissante. Comme elle est minorée par u, elle converge vers l \geq u. On fait le passage à la limite (plus vraiment enseigné en TS d'ailleurs, mais ma prof m'en a parlé) : l-\frac{h(l)}{h'(l)}=l ou h(l)=0. Comme u est l'unique zero de h, l=u. Donc \lim_{n \rightarrow +\infty}x_n = u.

A demain.

Posté par
Zormuchere : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 00:38

Re-bonsoir
pour chipoter un peu, même si ce n'est malheureusement pas de rigueur en Terminale S, il faut justifier le passage à la limite par la continuité de T

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 10:28

Bonjour,

Pour illustrer 23h58:

La fonction f de la partie A vérifie les hypothèses qui concernent h (on a ici u=\alpha et \alpha<v<1)

Bref tu as une suite qui converge vers le zéro de f:

  Sujet de TS analyse

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 17:51

@Zormuche

Vous avez raison ! Dans ce cas, je peux simplement dire qu'elle est dérivable donc continue c'est ça ?

@lake ultra intéressant le point de vue graphique Je suppose que c'est ce qu'on appelle un point fixe ? Il y aurai donc 3 cas, un cas ou la suite comme ici décroit, un autre ou elle croit, et l'autre ou elle tourne autour de point fixe ?

Je vous poste la suite dans peu de temps

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 18:36

Point fixe, pas vraiment; il s'agit de la méthode de Newton pour approximer un zéro d'une fonction. Pour plus de détails, regarde ici:

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 21:26

Partie C

1)a) Démontrer que la fonction satisfait dans l'intervalle [\alpha,\beta] aux hypothèses faites sur la fonction h de la partie B.
On considère la suite (x_n)_{n\in \mathbb{N*}} définie par son premier terme x_0=\beta et \forall n \in \mathbb{N} : x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Bon bah pour le coup la première question ça va.

b) Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe un réel c_n dans ]\alpha,x_n[ tel que f(\alpha)=f(x_n)+(\alpha-x_n)f'(x_n)+\frac{1}{2}(\alpha - x_n)^2f''(c_n).

En déduire que (x_{n+1}-\alpha)=(x_n-\alpha)^2\frac{f''(c_n)}{2f'(x_n)} et x_{n+1}-\alpha \leq \frac{M}{2}(x_n-\alpha)^2

Pour la premiere partie de la question, la question est directe en reutilisant f puisqu'elle satisfait les hypothèses faites sur g. Pour la seconde partie (en deduire) je sais pas par ou commencer..

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 23:05

Voyons, f(\alpha)=0: tu devrais pouvoir en tirer quelque chose.

  et la question A) 2) (avec la majoration par M doit te permettre de terminer

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 23:22

Ah oui, donc on divise la premiere relation par f'(x_n) et puisque x_n et c_n appartiennent à l'intervalle, \frac{|f''(c_n)|}{|f'(x_n)|}\leq M qui entraine la deuxieme relation

Posté par
Slpokre : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 23:25

On pose \delta_n=M/2(x_n-\alpha)
Demontrer par recurrence que pour tout entier naturel n on a
\delta_n \leq \delta_0^{2^{n}}\leq (\frac{M}{4})^{2^{n}}

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 23:41

Ça, c'est facile:

  tu sais que \delta_{n+1}=\dfrac{M}{2}(x_{n+1}-\alpha)\leq \left(\dfrac{M}{2}\right)^2(x_n-\alpha)^2 d'après la question précédente.

c'est à dire \delta_{n+1}\leq \delta_n^2

  L'hérédité de la récurrence s'en déduit (pour la première inégalité).

  

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 24-01-19 à 23:51

Et pour la seconde partie de l'inégalité:

  \delta_0^{2^n}=\left[\dfrac{M}{2}(\beta-\alpha)\right]^{2^n}

or: \beta-\alpha=1-\dfrac{1}{e}-\alpha\leq \dfrac{1}{2}

Posté par
lakere : Sujet de TS analyse 25-01-19 à 12:45

Juste un complément; pour 23h22, il fallait aussi utiliser:

  x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}


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