Je n'ai pas vraiment lu ce que tu as écrit, mais le problème est très simple en coordonnées cartésiennes:

P(a,0)
M(a*cos(theta-phi),a*sin(theta-phi))
N((a*cos(theta+phi),a*sin(theta+phi))

Ainsi, PM=a[(1-cos(theta-phi))^2+sin^2(theta-phi)]^(1/2)

Sauf erreur,

Justin.

Ca se simplifie un petit peu peut-être

En reprenant, l'expression de Justin (qui n'est pas tout à fait juste) :



Comme ,

Donc

Bonjour Pece,

Pourquoi mon expression n'est-elle pas tout à fait juste? Est-ce parce que j'ai écrit a et non |a|? Si c'est le cas, je pense que les deux écritures sont justes, bien que la mienne est plus 'simple'. En effet, dans ce problème, a>0 car c'est le rayon d'un cercle.

Justin.

Non la tienne n'est pas juste car a peut-être négatif C'est une équation polaire : c'est l'ensemble des points ayant r pour premier coordonnée polaire.

Exemple : Si M un point du plan admet pour système de coordonnées polaires , alors il admet aussi le système de coordonnées polaires , donc le cercle de centre O (origine du repère) et de rayon 5 admet ces deux équations polaires : et .

Voilà pour la 'tite erreur (je te l'accorde ce n'en était pas une grosse, mais desfois un petit grain de sable et toute la démonstration est bloquée )

Merci beaucoup de votre aide !

Juste une remarque, Vecteur PM c'est( a*(cos(+)-1) , a*sin(+) ) Mais le résultat reste le même, ça change rien

Et donc je trouve MN = 2*a*sin()

Dans la suite on me demande de montrer que (PM + PN = 2MN) ssi (4*cos() - cos() = 3)

j'ai donc en simplifiant les 2*a : sin((cos(+)/2) + sin ((cos(-)/2) = 2*sin)

je développe et simplifie :
ssi sin(/2)*cos(/2) = 2*sin(/2) * cos(/2)
ssi cos(/2) = 2*cos(/2)

J'élève des deux côtés au carré :
ssi cos²(/2) = 4*sin²(/2)
ssi (1+cos()/2 = 2*(1 + cos())

Et là big problème, je multiplie des deux côtés par deux et j'ai :
ssi 4*cos() - cos() = 3 soit le bon résultat mais avec et inversés

Je l'ai refait plusieurs fois je trouve pas l'erreur, peut-être me suis-je trompé avec MN ?

Merci de m'aider !!

Dsl, je n'avais pas vérifié les coordonnées donné par Justin, m'enfin ce n'est pas bien grave, il a juste inversé M et N ^^

De plus, en effet une petite faute sur MN il me semble :

Juste une autre chose. L'élévation au carré ne conserve pas l'équivalence : en effet
Ici, pas de problème car et sont positifs (car et sont dans ), mais il faut le préciser . Si tu l'avais vu, tant mieux, sinon je préférais le préciser pour ne pas que tu garde une équivalence en élevant au carré dans n'importe quelle circonstance.

Voilà

Pece,

Je pense que nous avons tous les deux raison: il y a différentes conventions (différentes définitions). Dans mon enfance (l'année dernière, en terminale) j'ai appris que l'on se limitait aux réels positifs ou égaux à zéro pour la première coordonnée polaire. En effet, cela permet d'avoir une représentation unique d'un point différent de l'origine (si l'on se limite aussi à l'intervalle [0;2pi[ pour l'angle). Aussi, on donne souvent (si ce n'est toujours) l'égalité r=(x^2+y^2)^(1/2)>0 pour convertir du cartésien au polaire. Enfin, si l'on veut penser intuitivement la représentation polaire, il est difficile (impossible pour moi!) d'accepter des rayons négatifs.

Pour plus d'info: http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system (c'est un 'featured article')

Justin.

Tu remarqueras que dans l'article, il précise la même chose que moi.
Et en effet, on donne car un point a une infinité de système de coordonnées polaires !

Dans notre cas, on peut avoir a négatif, il faut donc prendre en compte ce cas-là. Ici le manque de rigueur nous amènerait à trouver des longueurs négatives, il serait donc intéréssant de garder cette rigueur

De plus, la représentation intuitive de cette équation polaire existe aussi pour des valeurs négatives de a. Ton erreur est de croire que r est le rayon, alors que c'est seulement sa valeur absolue qui l'est. Une valeur négative de r se traduit simplement par une situation sur la demi-droite d'origine O et de sens opposé à celui du vecteur ayant subit une rotation de l'angle donné en deuxième coordonnée.
Si tu veux, ramène-toi au plan complexe et multiplié le module par (-1) revient alors à multiplier l'affixe par et donc à ajouter à une mesure de l'argument. On comprend donc la demi-droite opposé aisément.

J'insiste que nous avons tous les deux raison. Cependant, le problème n'est posé que pour 'a un réel strictement positif' (deuxième ligne, dans l'énoncé).

Je vois comment tu penses les rayons négatifs, mais je trouve que c'est préférable de n'en avoir que des positifs (question de goût) et ensuite de jouer avec les angles.

Justin.

Oups, dsl pour l'énoncé j'avais zappé le fait que a est strictement positif.

Mais tu as beau insister, je ne lâcherais pas ce point : un point n'a pas un unique système de coordonnées polaires et parmi l'infinité de ses systèmes il y en a dont la première coordonnées est négative. Bref, inutile de se prendre le chou là-dessus, je pense que c'est simplement la définition de terminale qui n'est pas rigoureuse et qui tend à simplifier tout ceci (pauvres petits élèves...)

Amicalement

Cher Pece,

Tu ne peux pas prétendre que tous les mathématiciens de tous les temps ont adoptés ta définition de représentation polaire. Il y a différentes définitions, toutes aussi rigoureuses les unes les autres... justes différentes.

Justin.

Merci Pece en effet je me suis trompé pour MN.

Juste une dernière petite question, on me demande ensuite de montrer que MN reste tangente à un cercle fixe en supposant que (PM + PN = 2MN) ssi (4*cos() - cos() = 3)

Je sais pas trop par où commencer en fait. Je connais le vecteur MN (a*(cos(-) - cos(+)) , a*sin(-) - sin(+)))

Je connais aussi les coordonnées polaires de M et N mais je vois pas comment trouver un cercle auquel (MN) serait tangeant. Donc si vous pouviez me donner un petit indice..! Merci