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sup d une norme

Posté par
Nico86 28-12-05 à 20:30

Bonjour,

Dans la correction d'un exercice, il est écrit "il est clair que :
\sup_{||x||=1}||Ax|| \le \sup_{x\neq0} \frac{||Ax||}{||x||}"
où A est une matrice de M_n(\mathbb{R}) et x de \mathbb{R}^n un vecteur colonne.
Pouvez-vous me dire pourquoi cela semble évident ?

Merci d'avance.

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 28-12-05 à 20:36

Bonsoir Nico86

Considérons l'ensemble E=\{||Ax||,||x||=1\} et F=\{\frac{||Ax||}{||x||,x\neq 0}
E et F sont alors clairement des sous-ensembles non vides de tels que E est inclus dans F.
On a donc que la borne supérieure de E est inférieur ou égale à celle de F.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 28-12-05 à 20:38

Désolé, F=\{\frac{||Ax||}{||x||},x\neq 0\}

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 28-12-05 à 20:42

Ou alors si tu préfères, on a que pour tout x non nul :
\frac{||Ax||}{||x||}\leq sup_{x\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}
En particulier c'est vrai pour tout les vecteurs de norme 1.
On a donc pour tout x de norme 1, ||Ax||\leq sup_{x\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}.
Par définition de la borne supérieure, on déduit le résultat.

Kaiser

Posté par
Nico86re : sup d une norme 28-12-05 à 20:47

Effectivement, je n'y avais pas pensé Merci
Avec les mêmes éléments, pourrais-tu me dire pourquoi l'inégalité est aussi vrai dans l'autre sens ? Je ne comprend pas non plus.

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 28-12-05 à 20:54

Ce qui va suivre est une astuce à retenir.
Considérons un élément x non nul et posons y=\frac{x}{||x||}
y est clairement de norme 1.
On a donc ||Ay||\leq sup_{||z||=1}||Az||
Or ||Ay||=||A\frac{x}{||x||}||=\frac{||Ax||}{||x||}
On en déduit que pour tout x non nul, on a l'inégalité suivante :
\frac{||Ax||}{||x||}\leq sup_{||z||=1}||Az||
On conclut ensuite par définition de la borne supérieure.

Kaiser

Posté par
Nico86re : sup d une norme 28-12-05 à 21:12

Merci bcp pour l'astuce. Effectivement, c'est à retenir !
Je me permet aussi de te donner une astuce en latex si elle t'intéresse : pour écrire sup de quelque chose, utilise l'écriture "\sup" plutôt que "sup".

Encore merci pour tes explications.

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 28-12-05 à 21:29

Je t'en prie !

Et puis, merci pour le tuyau pour latex !

Posté par
Nico86inégalité de normes 29-12-05 à 18:26

Bonjour,

Je fais un sujet de CAPES et j'ai du mal à comprendre sa correction. Si quelqu'un pouvait m'éclairer, ce serait sympa :
Soient A et B deux matrices carrés d'ordre n à coefficients réels. X un vecteur de n colonnes à coefficients réels. ||.|| est la norme telle que ||x|| = \sqrt{<x,x>} et N(A) = \sup_{||x||=1}||Ax||=\sup_{||x||\neq0}\frac{||Ax||}{||x||}.
Voilà les endroits que je ne comprends pas :
_pourquoi avons-nous ||ABx|| \le N(A)||Bx||.
_c_i étant un vecteur de \mathbb{R}^n, pourquoi avons nous ||[c_1,...,c_n]e_i|| \le N([c_1,...,c_n])||e_i|| ?

Je vous remercie d'avance.

Nicolas

*** message déplacé ***

Posté par
kaiser Moderateurre : 29-12-05 à 18:38

Bonsoir Nico86

Chic! Encore des normes!
Si Bx est nul, l'inégalité est triviale.
Sinon, on sait par définition de N(A) que pour tout y non nul, \frac{||Ay||}{||y||}\leq N(A)
Avec y=Bx, c'est vrai aussi et on obtient le résultat voulu.

La deuxième inégalité se déduite de la première en prenant pour A la matrice donc les vecteurs colonnes sont les ci et pour B, prend la matrice identité.

Kaiser

*** message déplacé ***

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 29-12-05 à 18:48

Je me demandais où est-ce qu'il était passé celui-là !!
Finalement, il n'avait pas disparu !

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 29-12-05 à 18:49

Bon, ben finalement si !

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 29-12-05 à 18:58

Je viens de me rendre compte !
Je ne parlais pas de toi Nico86 ! je parlais d'un de mes messages !

Posté par
Nico86re : sup d une norme 29-12-05 à 19:05

OK, en fait, c'était tout bête !!! J'ai vraiment trop de mal avec les matrices et les normes. Il y a encore une question où je bloque. Je me permets de te la poser si ça ne te dérange pas  :
Sachant que A* est la transposée de A, que p(A*A) désigne la plus grande valeur propre de A*A et que A*A est symétrique positive, il faut montrer que N(A)=\sqrt{p(A*A)}.
J'ai la solution mais je ne la comprend pas du tout. Pourrais-tu me l'expliquer s'il te plait ?

Solution : il existe une base orthonormée \epsilon telle que pout tout i, A*A\epsilon_i=\lambda_i\epsilon_i et spec(A*A)={0\le\lambda_1\le...\le\lambda_n}. Alors si x=\sum\lambda_i\epsilon_i a 1 pour norme, il vient :
||Ax||^2=<Ax|Ax>=<x|A*Ax>=\sum\lambda_ix_i^2\le\lambda_n=||A\epsilon_n||^2.
Et par conséquent N(A)=\sqrt{\lambda_n}=\sqrt{p(A*A)}.

Merci beaucoup

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 29-12-05 à 20:29

Comme a*a est une matrice symétrique, alors d'après le théorème spectral, elle est diagonalisable dans une base orthonormée. C'est ce qu'on explique au début de la solution.
De plus comme elle est positive, ses valeurs propres sont positives.
Par contre, dans la solution, il y a une petite erreur de frappe. on doit lire : x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\epsilon_{i}. Mais je vois que tu as corrigé ensuite.
||Ax||^{2}=<Ax|Ax>=<x|A^{*}A>(ça, c'est par définition de l'adjoint).
Comme on a x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\epsilon_{i}, alors A^{*}Ax=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\lambda_{i}\epsilon_{i}

Et comme la base de vecteurs propres est orthonormée, alors <x|A^{*}A>=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}

Par hypothèse tous les \lambda_{i} sont inférieurs à \lambda_{n}
on peut donc majorer cette somme par \lambda_{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\lambda_{n}||x||^{2}

Ainsi, pour tout vecteur de norme 1, on à l'inégalité, ||Ax||\leq \sqrt{\lambda_{n}}=\sqrt{\rho (A^{*}A)}

On en déduit par définition de N(A) et de l'égalité que l'on a démontrée tout au début de ce topic, que N(A)\leq \sqrt{\rho (A^{*}A)}

En fait c'est une égalité parce que c'est atteint pour x=\epsilon_{n}

Kaiser

Posté par
Nico86re : sup d une norme 29-12-05 à 21:35

Merci beaucoup pour ton aide. Grâce à toi, j'ai bien compris cette correction.

Encore merci !

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : sup d une norme 29-12-05 à 21:52

Mais je t'en prie !


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