salut

la question 2/ n'est pas claire

effectivement Sup (A, B) = A U B = Max (A, B)

vu que A U B A U B U C pour toute partie C de E

on peut aussi considérer un élément x de A U B que l'on retire C = A U B - {x} et montrer alors qu'on n'a plus A C et B C

pour l'inf c'est la même chose mais à l'envers :

si D = A B alors si on ajoute un élément x qui n'appartient pas à A et à B : F = D U {x} alors on n'a plus  F A et F B

n'est pas égal à si et ont une intersection non vide!
Fais un dessin avec des patates tu vas voir.

En fait, . Et les parenthèses ne sont pas optionnelles parce que .


Ton 2) ne va pas de toute façon tu t'y prends mal
On pourrait dire que est par définition le plus petit majorant de et , mais en fait on peut le prouver.

Citation :
Soit un majorant de et . Soit . A-t-on ?
Conclusion ?

bonjour,
Quel est le texte de la question 2 ?
Une remarque T est une partie de P(E) qui a 2 éléments, ce n'est pas un élément de P(E),autrement dit, T n'appartient pas à P(E)

je complète par un exemple
A={1,2}, B={2,3}, T={{1,2};{2,3}},
si on dit que est un minorant de T alors on peut écrire
ce qui est faux.

Bonjour,
Il me semble que l'ordre peut être total.
Si E est vide ou si E est un singleton.

merci pour vos réponses

[/b]   est un minorant de T ssi est inclu dans tout element de T ce qui est le cas ici
n est ce pas DOMOREA ?

OUI Sylvieg  c est une bonne remarque dans un ensemble E fini l ordre pour l inclusion n est pas en général total  sauf si E est un singleton ou le vide

oui Ulmiere

re bonjour,
Tu n'as pas compris ma remarque ainsi que mon exemple. Si est la borne inf de T alors est un minorant de T, or et T ne sont pas de même nature.

Explique moi le sens de la notation {A;B}.c'est peut-être là le problème.

Reprend mon exemple T={A;B}={{1,2};{2,3}} c'est un ensemble à 2 éléments,
Tu vois bien que {2} n'est pas inclus dans T, car {2} n'est ni {1,2},ni {2,3}.

Alors quel est le texte de ta question 2, peut-être l'as-tu mal traduite.

on peut aussi considérer un élément x de A U B que l'on retire C = A U B - {x}  montrons que l on n a pas  


si
si      ect et merci pour votre  piste carpediem
merci encore pour tous

bonjour DOMOREA
je m excuse je n avais pas terminé la question 2

qui est
déterminer sup et inf de T
et merci j espère que je ne vous ai  pas dérangé

donc au sens de l inclusion  le epsilon  strictement positif n est plus qu un singleton encore une fois merci carpediem

de rien

effectivement le premier et est un ou

Pour DOMOREA,
Dire que a est un minorant de A, n'implique pas que a et A soient de même nature.
Ça implique que a est de même nature que les éléments de A.

Exemple:
Avec A = {x ; y ; z }, a minorant de A signifie que a est inférieur ou égal à x, y et z.

Après réflexion, je comprends mieux le message de aya4545 à 16h31 qui n'est pas si hors sujet que ça.
Mais attention, dans l'ordre est total, alors que ce n'est pas le cas avec P(E).

Il me semble que pour justifier sup {A ; B} = AB, ceci suffit :
a) AB est un majorant de {A ; B}.
b) Si C est un majorant de {A ; B} alors AB est inclus dans C.

certes ... mais il faut bien montrer le point b/ et c'est ce que je propose à 13h49

car il est évident que pour toute partie X : A U B A U B U X

donc il faut surtout montrer qu'il n'y a pas plus petit que A U B

ce me semble-t-il ...

Quand l'ordre n'est pas total, il peut ne pas y avoir équivalence entre "ne pas être plus petit" et "être plus grand".

C'est ce que je proposais dans mon post.
Si alors ou par définiton (ou non exclusif).
Mais dans un cas comme dans l'autre, puisque C inclut à la fois A et B.

Une autre manière de faire est de traiter d'abord de cette façon puis de montrer que le plus petit ensemble contenant à la fois A et B est l'intersection de tous les ensembles contenant A et B.
Cette intersection est par définiton incluse dans mais réciproquement, si , alors (non exclusivement)

- ou bien pour tout ensemble Z contenant A donc aussi pour tout ensemble U contenant à la fois A et B
- ou bien pour tout ensemble Z contenant B donc aussi pour tout ensemble U contenant à la fois B et A.

Dans les deux cas, est inclus dans n'importe quel ensemble contenant A et B, donc par définition, dans l'intersection de tous ces ensembles. Comme {x} est un singleton x appartient à l'intersection, et comme x est quelconque,   est inclus dans l'intersection.

Mais ça semble un petit peu difficile pour quelqu'un en début de prépa non mathématique

même avec un ordre total : dans E = {1, 2, 3} 2 n'est pas plus petit ni plus grand

si on considère l'ensemble F = { X € P(E) / A X et B X}

alors du fait que A AU B et B A U B on en déduit que pour tout X de P(E) :  A U B U X F

cela n'empêche pas que A U B ne soit pas le plus petit élément de F
cela ne permet pas de conclure que A U B est le plus petit élément de F