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[Sup] L'Astroïde

Posté par
gui_tou 30-10-07 à 13:50

Bonjour à tous

J'ai un petit problème avec cet exercice :
(le début, c'est du blabla)

Citation :
Le plan \scr{P} est rapporté au RON (O,3$\vec{i},3$\vec{j}).
\scr{C} désigne le cercle trigonométrique.
Quand le point M décrit \scr{C}, on note P (resp. Q) le projeté orthogonal de M sur x'Ox (resp. y'Oy) ; on note enfin H le projeté orthogonal de  M sur la droite (PQ). \Gamma désigne alors le lieu des points H.

\bullet \green Donner une définition paramétrique de \Gamma.

Ok : (\Gamma) : \Large \fbox{\{x(t)=\cos^3t\\y(t)=\sin^3t

\bullet \red On considère \gamma l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener à \Gamma deux tangentes orthogonales.

\bullet \green Montrer que \gamma admet pour représentation paramétrique : (\gamma) : \large \{x(t)=\sin t \cos t (\sin t - \cos t)\\y(t)=\sin t \cos t (\sin t + \cos t)

Mon idée, c'est de trouver l'équation de la tangente T_1 à \Gamma en H, puis de trouver une droite orthogonale T_2 à celle-ci. Et T_2 doit être elle aussi tangente à \Gamma, en un autre point, H'.
\gamma serait l'intersection 3$T_1\cap T_2

L'équation de la tangente T_1 à \Gamma en H est celle de (PQ), à savoir (T_1) : \fbox{\large x.\sin t + y\cos t -\sin t. \cos t=0

Un vecteur normal à T_1 est \rm \large \vec{n}=\(\sin \,t \\\cos \,t\) \\

A partir de là, j'essaie de construire l'équation de T_2. Soit 3$\rm%20H'\(\cos^3t'\\\sin^3t'\)

Ainsi, si je prends un point N du plan,
3$N\in T_2 \Leftrightarrow \vec{H'N} et 3$\vec{n} colinéaires.
Je trouve que T_2 : \fbox{\large x.\cos t' - y\sin t' +(\sin t ' + \cos t' )(\sin t' - \cos t')=0

C'est assez bon signe vu qu'on y reconaît une partie de la définition de \gamma.

Le t' me gêne ; dans un précis j'ai des éléments de solution de cet exo, et il indique que \large\gamma (t) = T_t\cap T_{t+\frac{\pi}{2}} \\

J'ai donc besoin de vous : comment exprimer t' , et mon raisonnement est-il correct ?




Merci bien

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 14:21

Vous n'aimez pas la géométrie ?

Posté par
Camélia Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 14:27

Bonjour gui_tou

Il ne s'agit pas de la tangente en H. On prend un point A quelconque et on écrit les équations des deux tangentes qui passent par A. On leur demande d'être orthogonales... Bien sur il faut écrire à peu près tes équations, mais le point de vue change. Pour A, on cherche les points H et H' d'où les tangentes passent par A...

Posté par
infophilere : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 14:29

Bonjour

On l'a fait en classe l'astroïde !

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 14:46

Bonjour Camélia et Kévin

Je prends donc un point A quelconque 3$\rm%20A\(x\\y\)

Un vecteur directeur de la tangente à \Gamma est \vec{w(t)}=\(-\cos%20\,t%20\\\sin%20\,t\)

Et ensuite, je dois trouver l'équation de deux tangentes orthogonales qui passent par A ?
Ces tangentes ont pour vecteurs directeurs respectifs \vec{w(t_1)}=\(-\cos%20\,t_1%20\\\sin%20\,t_1\) et \vec{w(t_2)}=\(-\cos%20\,t_2%20\\\sin%20\,t_2\)

Pour un t_1 donné, il existe un unique t_2 tel que \vec{w(t_1) et \vec{w(t_2) soient orthogonaux.

Et ensuite, comment construire les équations de ces tangentes ,


Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 15:46

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 17:42

Ne me dites pas que je dois le faire tout seul :lol


Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 22:07

Avant dernière tentative

Posté par
karimre : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 22:21

comment as-tu fais pour déterminer les tangentes ?

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-10-07 à 23:50

Je te le dis demain

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 21:51

Moui, de la zoli géometrie qu'i dit... Bon, je réflechis quand même mais c'est bien parce que c'est toi

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 21:54

Mariette, voici une figure

[Sup] L\'Astroïde

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:01

tu sais bien vendre ton exo

Bon, en faisant un dessin de mon côté, j'ai noté que les tangentes de l'astroïde n'étaient autres que les droites (PQ) du départ. Peut-on en faire quelque chose, mystère.

D'autre part, il est clair sur le graphique que si on ne considère qu'un arc de la bête, on ne peut pas avoir de tangentes perpendiculaires, on doit donc pouvoir montrer que deux tangentes sont perpendiculaires ssi elles correspondent à un paramètre t et t+pi/2.

Du coup on aurait plus qu'à chercher les coordonnées du point d'intersection, en fonction de t.

Allez, je le tente.

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:06

Citation :
on doit donc pouvoir montrer que deux tangentes sont perpendiculaires ssi elles correspondent à un paramètre t et t+pi/2.


Voilà : c'est là où je bloque. On ne doit pas le sortir du chapeau comme ça. Si j'arrive à le montrer, alors je saurai enchaîner

Je peux d'ores et déjà dire qu'une équation de la tangente orthogonale à ma tangente est de la forme :
\fbox{\large%20x.\cos%20t%20-%20y\sin%20t%20+a=0
Reste à montrer que a=\sin t.\cos t

Merci Beaucouuuup en tout cas, Mariette

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:13

attends, les arcs paramétrés, c'est loin, alors je me vautre peut-être, mais pour la tangente, moi je trouve comme vecteur directeur :
\vec u_t\left\{\begin{tabular}{l} \\ x'(t)=-3\sin(t)\cos^2(t)\\ \\ y'(t)=3\cos(t)\sin^2(t)\end{tabular} \\

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:16

enfin, pour t\neq0+k\times\frac{\pi}{2}

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:20

Voui, et en divisant par 3\sin t.\cos t on retrouve ce que j'ai dit, en faisant attention au t, non ?

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:27

D'abord, j'ai bon, parce que ça marche

Regarde et admire (non, je rigole, regarde et critique ):
J'ai donc deux vecteurs directeurs de tangentes, un pour t un pour t', et j'écris qu'il sont orthogonaux :
(-3\sin(t)\cos^2(t))\times(-3\sin(t')\cos^2(t'))+(3\cos(t)\sin^2(t))\times(3\cos(t')\sin^2(t'))=0 \\ \Longleftrightarrow 9\sin(t)\sin(t')\cos(t)\cos(t')\big(\cos(t)\cos(t')+\sin(t)\sin(t')\big)=0

et là, c'est pas beau, mais c'est presque fini : j'élimine presque tout:

\underbrace{9\sin(t)\sin(t')\cos(t)\cos(t')}_{\neq0{\rm\ car\ }t,t'\neq0+k\pi/2}\underbrace{\big(\cos(t)\cos(t')+\sin(t)\sin(t')\big)}_{\cos(t-t')}=0

grr j'arrive pas à faire des grandes accolades en dessous, ça minerve...

bref : on obtient :

\cos(t-t')=0 d'où notre t=t'+k\pi/2

il reste à fignoler les bords (t ou t' nul à pi/2 près)

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:38

Trop forte Marriette

J'avais pas pensé à mettre en équation le fait qu'elles soient orthogonales, nos tangentes

Je serais encore plus admiratif quand j'aurais refait les calculs

Mais je ne peux pas garder \vec{w(t)}=\(-\cos%20\,t%20\\\sin%20\,t\) pour vecteur directeur ? Ca simplifie les calculs, non ?

T'es géniale

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:39

merci merci...

Et tu n'as pas tort sur la simplification

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:44

bon, je suis désolée, mais je vous abandonne lachement toi et ton astroïde, mes petits nieux se fermant tout seuls...

bonne nuit !

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 04-11-07 à 22:46

Bonne nuit Mariette, et merci pour tout

T'es kro zentille

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 05-11-07 à 00:37

Bingo j'ai tout bon

Reste plus qu'à étudier la bête
Mais ça va, avec toutes les symétries je peux me contenter d'une étude sur \large \rm \[0,\fra{\pi}{4}]

Merci encore Mariette

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:13

Je remonte ce topic pour féliciter \large\red \rm Mariette [Sup] L\'Astroïde, ma sauveuse géniale

Posté par
Mariette Correcteurre : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:23

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:43

Si si, tu me mérites vraiment !

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:43

tu le mérites

Posté par
infophilere : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:44

Posté par
moominre : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:49

T'es pas un peu trop jeune ?

C'est quoi un astroide ? c'est la figure que tu as postée ?

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:50

Non non j'ai oublié un "é", je voulais écrire astéroïde

Posté par
moominre : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:53

Une astroïde est une courbe plane, qui peut se définir de plusieurs façons. En particulier, il est possible de l'obtenir en faisant rouler un cercle de rayon ¼ à l'intérieur d'un cercle de rayon 1. Pour cette raison, l'astroïde est une hypocycloïde de cercle à quatre points de rebroussement.

Na !

Posté par
gui_toure : [Sup] L'Astroïde 30-01-08 à 19:55

Il y a cette idée, oui


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