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Niveau Licence Maths 1e ann
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Supplémentaires

Posté par
camalo
09-03-18 à 01:31

Bonsoir,

On me demande un supplémentaire dans R3[X] de l'ensemble suivant :
F = { P R3[X] , P'(X) + 3P(X) = P(0)X3 + P(1)(X+1) }.

Je pose un polynôme quelconque de R3[X], en résolvant de nombreux calculs, je trouve que seul le polynôme nul peut appartenir à cet ensemble.

Or, la famille contenant le polynôme nul n'est pas libre, elle ne peut donc pas être complétée en une base de R3[X].

Dès lors, comment en déduire un supplémentaire dans R3[X] ? Les vecteurs nuls peuvent-ils avoir des supplémentaires ?

Sauf erreur de ma part, je ne comprends donc pas la question.

Merci d'avoir pris le temps de lire.

Posté par
luzak
re : Supplémentaires 09-03-18 à 08:45

Bonjour !
Sauf erreur d'énoncé je pense que tu as raison : F=\{0\}.

Mais  on peut trouver un supplémentaire (pour une fois on pourrait dire le supplémentaire)
Tout sous-espace vectoriel de E (y compris l'espace \{0\}) admet un supplémentaire : E=E\oplus\{0\}.

Dans ton raisonnement sur les bases, tu as oublié une propriété (un peu subtile il est vrai) : la partie vide est une partie libre.

...................................
Mais je pense plutôt à une erreur d'énoncé, à vérifier.

Posté par
camalo
re : Supplémentaires 09-03-18 à 09:24

Bonjour,

J'ai encore une fois vérifié l'énoncé et celui ci ne comporte pas d'erreur...

J'ai également repris mon cours car ce résultat me semble étrange. Il y est écrit que toute famille comportant le vecteur nul est liée ; et aussi que {x} était libre seulement si x était non-nul.
J'ai du mal à concevoir que {0} soit libre, quand vous dites "la partie vide", vous parlez de {0} ? Ou ?

Je vous remercie de m'aider.

Posté par
luzak
re : Supplémentaires 09-03-18 à 12:31

Non ! La partie vide est vide. 0 n'est pas dans cet ensemble mais la partie vide est libre, pas de problème et tu as donc bien une base (partie libre --- elle est vide--- et génératrice car l'espace engendré par \emptyset est \{0\}, cet espace est inclus dans tout sous-espace, en particulier dans un espace engendré par la partie vide.

Pour le reste tu as raison : toute famille contenant 0 est liée donc \{0\} n'est pas une partie libre.

Je t'avais prévenu : c'est subtil. Tu admets ou tu démontres en utilisant une définition complète sans oublier les quantificateurs indispensables.

Posté par
camalo
re : Supplémentaires 09-03-18 à 12:37

C'est subtil en effet... pardonnez moi si j'ai du mal à comprendre, mais :
F = {0} et pas
Donc je dois entendre que engendre {0} donc F ?
Donc la "famille vide" engendre F, de plus, elle est libre, c'est une base de F ?

Donc un supplémentaire de F dans R3[X] est... la base canonique de R3[X] ? (A démontrer rigoureusement)

Posté par
luzak
re : Supplémentaires 09-03-18 à 12:45

Je t'ai déjà écrit la relation : E=\R^3[X]=F\oplus E. E=\R^3[X] est un supplémentaire de F et tu as les bases que tu veux, toutes les base de \R^3[X] font l'affaire.

A noter que ce n'est pas contradictoire avec ce que tu dois connaître : la réunion d'une base de F et d'une base d'un supplémentaire est une base de l'espace entier. Réunir l'ensemble vide à autre chose n'est pas difficile à concevoir...

Posté par
camalo
re : Supplémentaires 09-03-18 à 13:00

Ok super, j'ai saisi l'idée !
Seule petite chose, vous me dites "toutes les bases de R3[X]" font l'affaire.
Dans votre tout premier message, vous avez écrit en rouge "F = {0}. Mais on peut trouver un supplémentaire (pour une fois on pourrait dire le supplémentaire)" , car {0} a pour unique supplémentaire dans E, E ? Je confonds quelque chose...

Posté par
lafol Moderateur
re : Supplémentaires 09-03-18 à 13:24

Bonjour
Attention à ne pas confondre un espace avec une de ses bases..... Unicité de l'espace ne signifie certainement pas unicité des bases !

Posté par
camalo
re : Supplémentaires 09-03-18 à 20:36

Exact je confonds .... Merci pour la précision !

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