Bonjour !
Sauf erreur d'énoncé je pense que tu as raison : .

Mais  on peut trouver un supplémentaire (pour une fois on pourrait dire le supplémentaire)
Tout sous-espace vectoriel de (y compris l'espace ) admet un supplémentaire : .

Dans ton raisonnement sur les bases, tu as oublié une propriété (un peu subtile il est vrai) : la partie vide est une partie libre.

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Mais je pense plutôt à une erreur d'énoncé, à vérifier.

Bonjour,

J'ai encore une fois vérifié l'énoncé et celui ci ne comporte pas d'erreur...

J'ai également repris mon cours car ce résultat me semble étrange. Il y est écrit que toute famille comportant le vecteur nul est liée ; et aussi que {x} était libre seulement si x était non-nul.
J'ai du mal à concevoir que {0} soit libre, quand vous dites "la partie vide", vous parlez de {0} ? Ou ?

Je vous remercie de m'aider.

Non ! La partie vide est vide. n'est pas dans cet ensemble mais la partie vide est libre, pas de problème et tu as donc bien une base (partie libre --- elle est vide--- et génératrice car l'espace engendré par est , cet espace est inclus dans tout sous-espace, en particulier dans un espace engendré par la partie vide.

Pour le reste tu as raison : toute famille contenant est liée donc n'est pas une partie libre.

Je t'avais prévenu : c'est subtil. Tu admets ou tu démontres en utilisant une définition complète sans oublier les quantificateurs indispensables.

C'est subtil en effet... pardonnez moi si j'ai du mal à comprendre, mais :
F = {0} et pas
Donc je dois entendre que engendre {0} donc F ?
Donc la "famille vide" engendre F, de plus, elle est libre, c'est une base de F ?

Donc un supplémentaire de F dans R₃[X] est... la base canonique de R₃[X] ? (A démontrer rigoureusement)

Je t'ai déjà écrit la relation : . est un supplémentaire de et tu as les bases que tu veux, toutes les base de font l'affaire.

A noter que ce n'est pas contradictoire avec ce que tu dois connaître : la réunion d'une base de et d'une base d'un supplémentaire est une base de l'espace entier. Réunir l'ensemble vide à autre chose n'est pas difficile à concevoir...

Ok super, j'ai saisi l'idée !
Seule petite chose, vous me dites "toutes les bases de R₃[X]" font l'affaire.
Dans votre tout premier message, vous avez écrit en rouge "F = {0}. Mais on peut trouver un supplémentaire (pour une fois on pourrait dire le supplémentaire)" , car {0} a pour unique supplémentaire dans E, E ? Je confonds quelque chose...

Bonjour
Attention à ne pas confondre un espace avec une de ses bases..... Unicité de l'espace ne signifie certainement pas unicité des bases !

Exact je confonds .... Merci pour la précision !