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sur les suites
bonjour à tout les participants au forum!
j'ai besoin de votre aide sur :
on définie la suite Un = 1 + 1/1! + 1/2! + ...............+1/n!
1) pour tt n non nul, démontrer que cette suite est croissante
2) Vn = Un + 1/n.n!
on veut démontrer que cette suite est décroissante.
3) montrer pour tt entier p et q non nul : Up
Vq.
en déduire que chacune des suites est convergente
4) démontrer que (Un-Vn) converge vers 0
5) que peut on dire des deux suites ?
merci de m'aider d'avance
Salut !
Qu'as-tu déjà fait ?
Pour la première question : tu peux calculer la différence
et "étudier" son signe.
1)
U(n) = 1 + 1/1! + 1/2! + ... +1/n!
U(n+1) = 1 + 1/1! + 1/2! + ... +1/n! + 1/(n+1)!
U(n+1) - U(n) = 1/(n+1)!
U(n+1) - U(n) > 0
U(n+1) > U(n)
Et donc la suite Un est croissante.
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2)
V(n) = U(n) + 1/(n.n!)
V(n+1) = U(n+1) + 1/((n+1).(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = U(n+1) + 1/((n+1).(n+1)!) - U(n) - 1/(n.n!)
V(n+1) - V(n) = U(n+1) - U(n) + 1/((n+1).(n+1)!) - 1/(n.n!)
V(n+1) - V(n) = 1/(n+1)! + 1/((n+1).(n+1)!) - 1/(n.n!)
V(n+1) - V(n) = (n.n!(n+1) + n.n! - (n+1)(n+1)!)/((n+1)n.n!(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = (n.n!(n+1) + n.n! - (n+1)(n+1).n!)/((n+1)n.n!(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = n!(n²+n + n - (n²+2n+1))/((n+1)n.n!(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = n!(n²+n + n - n²-2n -1))/((n+1)n.n!(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = n!(-1)/((n+1)n.n!(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = (-1)/((n+1).n.(n+1)!)
V(n+1) - V(n) < 0
V(n+1) < V(n)
Et donc la suite Vn est décroissante.
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3)
Erreur d'énoncé ???
On peut montrer que U(p) <= V(p) pour tout entier p.
V(n) = U(n) + 1/(n.n!)
V(p) = U(p) + 1/(p.p!)
V(p) - U(p) = 1/(p.p!)
V(p) - U(p) > 0
V(p) > U(p)
U(p) < V(p)
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4)
V(p) - U(p) = 1/(p.p!)
lim (p->oo) [V(p) - U(p)] = 1/oo = 0
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5)
De tout ce qui précéde, les suites Un et Vn sont adjacentes, elles convergent vers la même limite.
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Sauf distraction. 
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