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Surface d'un cône de révolution
Bonsoir,
Je suis un peu coincé sur le calcul de la surface d'un cône de révolution par des intégrales. J'ai réussi sans trop de soucis à calculer le volume de celui ci, mais ça ne fonctionne plus pour la surface. Voici mon raisonnement pour le volume:
Si je considère un cône de révolution, il m'a suffit d'intégrer sur la hauteur l'aire d'un des cercles de rayon r (en exprimant r selon la hauteur z par r=ztan(
) pour trouver la bonne formule.
En revanche si je fais la même pour l'aire... En tentant d'intégrer sur la hauteur un périmètre (qui varie donc selon z) cela ne fonctionne plus: je trouve S=
R(h+r) avec h la hauteur de mon cône. Je ne parviens pas à l'expliquer.
Merci de votre aide!
Pour l'aire latérale du cône, tu devrais calculer d'abord celle d'une tranche élémentaire d'épaisseur dz , cette tranche étant de forme tronconique.
Bonjour,
Avec tes notations, le cône est pointe en bas.
Le cercle de hauteur z a pour circonférence 2r = 2ztan()
L'intégrale de 2ztan() entre z = 0 et z = h vaut 2tan()h²/2 = tan()h²
Mais tan() = R/h, donc l'intégrale vaut (R/h)h² = Rh
Ce qui est le résultat classique.
Bonjour LeHibou.
Ta formule ("classique") m'étonne : pour une hauteur nulle tu proposes 0 pour l'aire du cône alors réduit à son cercle de base ?
L'aire du tronc de cône (tranche élémentaire) de hauteur est
désignant l'abscisse curviligne sur la génératrice, ici
.
L'aire sera donc .
=> luzak, tu as raison, la formule que je croyais avoir retrouvé est Ra où a est l'apothème du cône, qui se réduit à R2 lorsque le cône est plat donc R = a. Merci d'avoir rectifié mon erreur !
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