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surface :déterminer la méridienne

Posté par
Marie-C 15-03-09 à 20:17

Bonsoir

J'aurais besoin d'aide pour montrer que la surface d'équation x3+y3+z3-3xzy= a3
est de révolution et pour déterminer sa méridienne.
Le problème c'est que je ne sais absolument pas comment faire.
merci d'avance

Posté par
gui_toure : surface :déterminer la méridienne 15-03-09 à 21:36

Salut Marie-C

Je n'ai pas encore fait ce chapitre donc je ne sais pas comment résoudre l'exo.

Cela dit, en faisant confiance à mon livre, tu dois montrer que cette surface est invariante par les rotations d'un certain axe 3$\rm\Delta.

Sinon j'ai vu un exercice qui ressemble beaucoup, beaucoup au tien.

Citation :
Soit 3$\Sigma\ :\ x^3+y^3+z^3-3xyz-1=0. Montrer que 3$\Sigma est une surface de révolution.


Une correction :

Citation :
Soit 3$\Pi_{\lambda}\ :\ x+y+z=\lambda. Alors : 3$M(x,y,z)\ \in\ \Pi_{\lambda}\cap\Sigma\ \Leftright\ \{3\lambda(x^2+y2+xy-\lambda x-\lambda y)+\lambda^3-1=0\\x+y+z=\lambda

On observe alors que pour 3$\lambda=0,\;\Pi_0\cap\Sigma=\empty

Pour 3$\lambda\not=0, en notant 3$H\(\ {4$\fr{\lambda}{3}}\ ,\ {4$\fr{\lambda}{3}}\ ,\ {4$\fr{\lambda}{3}}\ \) et 3$M(x,y,\lambda-x-y)\ \in\ \Pi_{\lambda} on a :

3$M\in\Sigma\ \Leftright\ HM^2=2x^2+2y^2+2xy-2\lambda x-2\lambda y+\fr{2\lambda^2}{3

puis 3$M\in\Sigma\ \Leftright\ HM^2={4$\fr23}\lambda. Ainsi 3$\Sigma est une surface de révolution.


Donc pour toi on a pas  truc=1 mais truc=a3 ... j'espère que tu arriveras à adapter la démo!

En prime, une représentation de ta surface (qui ressemble à une termitière lol)

surface :déterminer la méridienne

Posté par
Marie-Cre : surface :déterminer la méridienne 15-03-09 à 21:43

salut gui-tou
bon, je vais me plonger dans  cette correction en essayant la comprendre
je te remercie

Posté par
Marie-Cre : surface :déterminer la méridienne 15-03-09 à 22:20

me revoilou
en fait, dans mon cours, j'ai juste la définition d'une surface de révolution et euh....
je ne comprends pas trop la méthode, mais comme tu ne l'as pas fait, ça va être un peu dur......

Posté par
MatheuxMatoure : surface :déterminer la méridienne 15-03-09 à 22:36

Bonsoir

La "symétrie" du rôle des variables (x,y,z) et peut donner l'idée de faire un petit changement de repère dans lequel la droite passant par l'origine dirigée par (1,1,1) jouerait le rôle d'axe Z.

L'équation dans ce nouveau repère (orthogonal quand même) permettra de mettre en évidence une nappe de révolution d'axe (oZ)... ce qui sera plus facile à "voir"... par exemple en coordonnées cylindriques.

MM

Posté par
MatheuxMatoure : surface :déterminer la méridienne 15-03-09 à 22:37

C'est quoi la définition d'une surface de révolution dans ton cours Marie ?

Posté par
MatheuxMatoure : surface :déterminer la méridienne 15-03-09 à 22:58

Sauf erreur de ma part, si on prend le repère orthogonal (1,-1,0)(1,1,-2)(1,1,1) d'origine O et qu'on note (X,Y,Z) les coordonnées dans ce nouveau repère, l'équation de ta surface dans ce nouveau repère donne quelque chose comme : 9 Z (X²+Y²) = a3

Il est clair sur cette équation que l'écriture en cylindrique ne dépend pas de et que donc (OZ) est un axe de révolution.


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