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surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une courbe

Posté par
fusionfroide 30-05-08 à 17:07

lu'

Voilà la bête !

On définit 4$\rm f : ]0,+\infty[\times \mathbb{R} ->\mathbb{R}^3, (u,v)->(-usin(v),ln(u),ucos(v))

Soit 4$\rm g : ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ -> \mathbb{R}^2 définie par 4$\rm g(t)=(\frac{e}{cos(t)},t) et soit 4$\rm\delta=fog

Montrer que le support de 4$\rm\delta est l'intersection du support de 4$\rm f et du plan horizontal d'équation cartésienne 4$\rm\delta=e

On doit donc montrer que 4$\rm Im(\delta)=Im(f)\cap\{Z=e\}

Commençons par 4$\rm \subset :

Soit 4$\rm t \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[

On a : 4$\rm \delta(t)=f(g(t))=(-etan(t),ln(\frac{e}{cos(t)}),e)

Donc 4$\rm Im(\delta) \subset \{Z=e\}

D'autre part, par définition, 4$\rm\delta est tracée sur la surface 4$\rm f donc 4$\rm Im(\delta) \subset Im(f)

D'où le résultat.

Pour l'autre inclusion :

Soit 4$\rm f(u,v) \in Im(f) \cap \{Z=e\}

Alors 4$\rm f(u,v)=(-usin(v),ln(u),ucos(v)) et 4$\rm ucos(v)=e i.e 4$\rm u=\frac{e}{cos(v)}

Mais je ne vois pas trop ce qui me permet de justifier que 4$\rm cos(v) \neq 0

Merci ^^

Posté par
fusionfroidere : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour 30-05-08 à 17:48

Ne pas lire \delta=e mais Z=e bien entendu

Posté par
carpediemsurfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une courbe 30-05-08 à 18:03

ne serait pas tout simplement parce que e0
ce me semble-t-il...

Posté par
fusionfroidere : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour 30-05-08 à 21:25

Effectivement, e \neq 0 et u \neq 0 d'où le résultat.

Posté par
fusionfroidere : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour 30-05-08 à 22:37

Je continue la preuve :

On a donc 4$\rm u=\frac{e}{cos(v)} \\
Il faut maintenant voir que 4$\rm f(u,v) \in Im(\delta) donc que 4$\rm\exist t \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ tel que 4$\rm\delta(t)=f(u,v)

On a 4$\rm f(u,v)=f(\frac{e}{cos(v)},v)=(-etan(v),ln(\frac{e}{cos(v)}),e)

Suffit-il de prendre maintenant 4$\rm t=v ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : surfaces paramétrées : intersection d'un plan et d'une cour 30-05-08 à 22:43

Hummm comme 4$\rm t est restreint à un intervalle de longueur 4$\rm 2\pi, ne faut-il pas prendre 4$\rm t=v [2\pi] ??


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