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symétrie affine
Bonsoir,
je ne vois pas comment montrer qu'une application affine telle que
est une symétrie affine.
Merci pour votre aide.
Salut 
Soit f une symétrie affine par rapport à G parallèlement à H. ( G et H sont deux sous espaces supplémentaires).
On prend x de E, on a x=y+z tel que et
f(x)=f(y)-f(z) => fof(x)=fof(y)-fof(z)=y-(-z)=x
ainsi f²=id (On remarque aussi que G=Ker(s-id) et H=Ker(s+id)
Réciproquement:
Soit f²=id, je te laisse montrer que ker(s-id) et ker(s+id) sont en somme directe. ce qui achèvera la démonstration 
Salut romu!
Soit f affine (on est en dimension n?) telle que f o f=id.
Alors l'application linéaire F associée à f vérifie F o F=id, donc c'est une symétrie vectorielle par rapport à un certain sev X de E (direction de l'espace affine).
Reste à trouver le sea invariant .
Soit A un point de l'espace affine.
S'il est invariant, alors considère le sea A+X et montre que f est la symétrie par rapport à ce sea.
Sinon soit B son image et soit C le milieu de [AB].
Montre que le sea C+X est le sea cherché.
)Salut monrow!
Tu as simplement montré qu'un endomorphisme f est une symétrie vectorielle ssi f o f=id.
Là, on est en affine.
bon enfin, je me remets à cette symétrie affine
déjà pour le premier cas
si , on considère donc le sea
,
Soit un point de
, je dois donc montrer que
(où
est la projection affine sur
parallèlement à quelque chose (que je n'arrive pas à identifier) )
que est le milieu de
.
Donc je pars comme ça:
après je ne vois pas comment continuer 
(il y avait la même question juste avant avec les projections affines, c'était plus facile 
)
Dans le cas des projecteurs X, c'était l'image de la partie linéaire parallèlement au noyau de la partie linéaire, c'est toujours le cas ici?
ah oui pardon
s c'est la symétrie linéaire de sur X parallèlement à un supplémentaire de X telle que s(u+v)=u-v
Salut romu!
Oui c'est encore le cas ici mais on peut tout-à-fait masquer la direction de la symétrie:
en effet de même qu'en linéaire on sait qu'un endomorphisme S est une symétrie ssi c'est 2p-id où p est un projecteur, ce qui revient à dire qu'il existe un sev X de E tel que pour tout vecteur x on ait x+S(x) appartient à X, de même une application affine s est une symétrie ssi pour tout point M, soit M est invariant, soit le milieu du segment [Ms(M)] appartient à un sea fixe.
En fait on va traiter directement le deuxième cas car il englobe le premier (en posant que si un point M est invariant, le milieu du segment [Ms(M)]=[MM] est encore M.Je t'ai concocté un petit plan de démonstration de derrière les fagots, tu vas voir comme ça roule! 
1)Soit donc A un point d'image B par f et soit C le milieu de [AB].
Prouve que C est invariant par f.(Utilise la caractérisation vectorielle du milieu et l'application F)
2)Prouve que tout point M du sea C+X est invariant par s
3)Inversement, vérifie que tout point invariant par s appartient à C+X
4)Montre que tout point M de l'espace affine est tel que le milieu I de [Mf(M)] appartienne à C+X et conclus.
Remarque: il est aisé de démontrer aussi que la direction de la symétrie affine est la même que celle de la symétrie vectorielle, mais là encore il est inutile de la faire apparaître pour prouver le résultat de ton topic.
Tigweg
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