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symétrie vectorielle : un endomorphisme orthogonal?
Bonjour à tous je poste juste ce sujet pour avoir quelques éclaircissements sur la nature de quelques aplications vectorielles....
En particulier j'aimerais savoir une bonne fois pour toute si toute symétrie vectorielle est un endomorphisme orthogonal ?
Bonjour;
(*)Dans tout -espace vectoriel
( où
est un corps commutatif quelconque ) on peut parler de symétrie vectorielle il suffit en effet de considérer un couple
de sous espaces supplémentaires de
la symétrie vectorielle par rapport à
et de direction
et alors par définition l'application
on montre d'ailleurs facilement que les symétries vectorielles de sont les endomorphismes
de
vérifiant
.
(*)Par contre pour pouvoir parler d'endomorphisme orthogonal il faudrait d'abord définir un produit scalaire sur
( ce qui nécéssite
) un endomorphisme
de
est dit alors orthogonal si
Dans ces conditions il est facile de voir que la symétrie vectorielle par rapport à et de direction
est un endomorphisme orthogonal de
si et seulement si
et
sont orthogonaux autrement dit que le sous espace
soit exactement le supplémentaire orthogonal de
.
Sauf erreurs bien entendu 
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