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Synthèse trigonométrie

Posté par
dnomirolf
27-02-23 à 15:21

Bonjour ! Ce chapitre n'est pas mon point fort donc j'espère que si vous avez le temps, vous pourrez m'indiquer où sont mes erreurs dans mon raisonnement... Merci d'avance !

Le sujet:
1. Sachant que:
cos(a + b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), montrer que: cos(2x)=cos^(2)(x)-sin^(2)(x) et en déduire que: cos^(2)(x)=(1+cos(2x))/(2)
2. À l'aide de cette formule, déterminer la valeur exacte de cos^2(π/8).
3. En déduire la valeur exacte de cos(π/8) puis de sin(π/8).

Mes trouvailles :
1.
cos(a + b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

En remplaçant a et b par x, on obtient :

cos(2x)=cos(x+x)
=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)
=cos^2(x)-sin^2(x)

Ensuite, pour déduire que cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2, nous pouvons simplement isoler cos^(2)(x) dans l'identité précédente :

cos^(2)(x) = cos(2x) + sin^(2)(x) = cos(2x) + (1 - cos^(2)(x)) (en utilisant l'identité sin^(2)(x) = 1 - cos^(2)(x))

Ensuite, en résolvant pour cos^(2)(x), nous avons :

cos^(2)(x) = (cos(2x) + 1 - cos^(2)(x))/2

En multipliant par 2 des deux côtés et en réarrangeant les termes, nous avons :

2cos^(2)(x) = cos(2x) + 1

Enfin, en divisant des deux côtés par 2, nous avons :

cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2

Cela prouve que cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2, en utilisant l'identité trigonométrique cos(2x) = cos^(2)(x) - sin^(2)(x).

2.

En utilisant l'identité trigonométrique cos^(2)(x) = (1 + cos(2x))/2 et en posant x = π/8, nous avons :

cos^(2)(π/8) = (1 + cos(2π/8))/2

En simplifiant, nous avons :

cos^(2)(π/8) = (1 + cos(π/4))/2

Nous savons que cos(π/4) = √2/2, donc :

cos^(2)(π/8) = (1 + √2/2)/2

En rationalisant le dénominateur, nous avons :

cos^(2)(π/8) = (2 + √2)/4

Ainsi, la valeur exacte de cos^(2)(π/8) est (2 + √2)/4.

3.

Pour déduire la valeur exacte de cos(π/8) à partir de cos^(2)(π/8) = (2 + √2)/4, nous pouvons prendre la racine carrée des deux côtés :

cos(π/8) = ±√[(2 + √2)/4]

Cependant, puisque 0 ≤ cos(π/8) ≤ 1, nous devons choisir la solution positive :

cos(π/8) = √[(2 + √2)/4] = √2/2 * √[(1 + 1/√2)/2]

Nous savons que √2/2 = cos(π/4) et que cos(π/4) = sin(π/4), donc :

cos(π/8) = sin(π/4) * √[(1 + 1/√2)/2]

En utilisant l'identité trigonométrique sin(π/4) = √2/2, nous avons :

cos(π/8) = (√2/2) * √[(1 + 1/√2)/2] = (√2 + 1)/2√2

Maintenant, pour trouver la valeur exacte de sin(π/8), nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique suivante :

sin(π/8) = ±√[1 - cos^(2)(π/8)]

Nous devons choisir la solution positive puisque 0 ≤ sin(π/8) ≤ 1. Ainsi, nous avons :

sin(π/8) = √[1 - cos^(2)(π/8)] = √[1 - (2 + √2)/4] = √[(2 - √2)/4]

Finalement, nous avons :

cos(π/8) = (√2 + 1)/2√2 et sin(π/8) = √[(2 - √2)/4].

J'espère que c'est assez clair... et merci d'avance!

Synthèse trigonométrie

Posté par
hekla
re : Synthèse trigonométrie 27-02-23 à 17:04

Bonjour

Je n'ai pas l'impression que ce soit de l'eau de source.

\cos (a+b)= \cos a\cos b-\sin a\sin b

En prenant  a=b=x\quad  \cos (2x)=\cos^2x-\sin^2x

sachant que \sin^2x=1-\cos^2x on obtient \cos (2x)=2\cos^x-1

d'où \cos^2x=\dfrac{\cos(2x)+1}{2}

Appliquons cela à \dfrac{\pi}{8}

\cos ^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\cos \dfrac{\pi}{4}+1}{2}

Or \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}


\cos ^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}

Comme \left(\dfrac{\pi}{8}\right) \in\left [0~;~\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right[

Par conséquent, son cosinus est positif d'où \cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)= \dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}


Pour le sinus, on va utiliser \sin^2x=1-\cos^2x


Tout n'est pas écrit, car le calcul mental existe

*Sylvieg edit>la première formule a été rectifiée*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Synthèse trigonométrie 27-02-23 à 17:18

Bonjour,
Un problème d'espace manquant après cos et sin pour le LaTeX dans
\cos (a+b)= \cos a\cosb-\sina\sin b
Je rectifie ?

*Sylvieg edit>j'ai rectifié *

Posté par
hekla
re : Synthèse trigonométrie 27-02-23 à 17:41

Bonjour Sylvieg

Merci bien

Posté par
dnomirolf
re : Synthèse trigonométrie 27-02-23 à 18:18

Merci pour votre aide ! Donc j'ai surtout un problème de rédaction c'est ça ?
Et je me suis aussi trompé sur cos(π/8)...

Posté par
dnomirolf
re : Synthèse trigonométrie 27-02-23 à 18:19

(j'écris trop pour rien)

Posté par
hekla
re : Synthèse trigonométrie 27-02-23 à 18:32

Oui, dans l'ensemble, c'était correct, mais beaucoup de digression. Pourquoi par exemple lorsque vous calculez  \cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right) vous appelez \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Cela pourrait passer, si c'était le premier exercice. On peut effectuer des calculs mentalement.

Dire ce que l'on fait, oui, mais avec une grande concision.



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