Salut Choupie

Si tu n'en as jamais fait, le mieux, ce serait peut-être de te documenter, avant de te lancer dans ta résolution...
Pourquoi ne pas commencer par consulter la fiche disponible sur ce site ?... Il te suffit de cliquer ici (Lien cassé)

Ensuite, pour d'autres exemples, tu peux consulter par exemple le topic suivant Equation a 3 inconnues

Entraine-toi sur ces exemples résolus, puis lance-toi dans ton exercice.

Bien sûr, en cas de problème, n'hésite pas

@+
Emma

Bonjour Emma !!

Merci pour ton aide mais j'ai deja résolu des systemes a 2 inconnues!! merci beaucoup pour le rappel!!
Je n'arrive pas a comprendre la méthode de grauss y en a t'il une autre plus compréhensible???
merci pour ton aide

Coucou

Il est vrai que, dans la fiche de cours, la seconde méthode (pivot de Gauss) est décrite sur un exemple à deux équations /  deux inconnues.
Mais il faut bien commencer par quelque chose, lorsque l'on découvre une nouvelle méthode...

Mais ensuite, tu peux appliquer cette méthode dans le cas de n équations à n inconnues pour n entier naturel quelconque !

Je sais que la méthode peut paraître compliquée au début, mais il n'en est rien... Il faut juste se plonger dedans !

As tu regardé le second lien que je t'avais donné -->   Equation a 3 inconnues ?
Ghostux y résolvais de façon détaillée un système de trois équations à trois inconnues

alors tu réécrit chaque équation en fonction des inconnues:

z=12-3x-y
x=8-2y-z
y=9-4z-(8-2y-z)

donc
y=9-4z-8+2y+z
y=3z-1

z=12-3(8-2y-z)-(3z-1)
z=12-24+6y+3z-3z+1
z=-11+6(3z-1)
z=-11+18z-6
17z=17
z=1

donc si z=1 alors y=2
ainsi tu remplaces z et y dans une équation pour trouver x:
x=9-y-4z
x=9-2-4
x=3

Réponse: x=3; y=2 et z=1

Bon, je me lance :

Ton système est
{ 3.x +  y +  z = 12  : L₁
{   x + 2.y +  z = 8  : L₂
{   x +  y + 4.z = 9  : L₃

L'idée, c'est de concerver une équation (par exemple L₁ ) et de faire disparâitre l'une des inconnues (disons x) dans les deux autres...

On remarque que si l'on considère  L'₂ = 3.L₂ - L₁, alors on obtient :
L'₂  : 3.(x + 2.y +  z) - (3.x +  y +  z) = 3 8 - 12
L'₂  : 3.x + 6.y + 3.z - 3.x - y - z = 24 - 12
L'₂  : 3.x - 3.x +  6.y - y z + 3.z  - z = 12
L'₂  :               5.y    +  2.z = 12

Et comme L'₂ a été obtenue par combinaison linéraire de L₁ et L₂, on obtiendra un système éuqivalent au système de départ en remplaçant L₂ par L'₂


De même, si l'on considère  L'₃ = 3.L₃ - L₁, alors on obtient :
L'₃  : 3.(x + y + 4.z) - (3.x +  y +  z) = 3 9 - 12
L'₃  : 3.x + 3.y + 12.z - 3.x -  y -  z = 27-12
L'₃  : 3.x - 3.x +  3.y - y +  12.z - z = 15
L'₃  :                2.y    +  11.z = 15

Bref, notre système de dépat a les mêmes solutions que le système suivant :
{ 3.x +  y +    z = 12  : L₁
{      5.y +  2.z = 12  : L'₂
{      2.y + 11.z = 15  : L'₃

La suite tout de suite

emma, ce que j'ai fait n'est pas bon?

Je vois qu'Ariel t'a donné une solution ne faisant pas intervenir la méthode du pivot de Gauss, mais je continue quand même :
J'en étais au système
{ 3.x +  y +    z = 12  : L₁
{      5.y +  2.z = 12  : L'₂
{      2.y + 11.z = 15  : L'₃

L'idée, c'est garder l'équation L₁ et d'appliquer la même méthode avec les deux autres équations :
{      5.y +  2.z = 12  : L'₂
{      2.y + 11.z = 15  : L'₃
On va garder l'équation L'₂, et se débrouiller pour faire disparaître une inconnue (disons y) dans l'équation  L'₃:

Posons L''₃ = 5.L'₃ - 2.L'₂. Alors :
L''₃ : 5.(2.y + 11.z) - 2.(5.y +  2.z) = 5 15 - 2 12
L''₃ : 10.y + 55.z - 10.y -  4.z = 75 - 24
L''₃ : 10.y - 10.y + 55.z -  4.z = 51
L''₃ :                   51.z    = 51
(bien sûr, il est inutile d'écrire ces calculs intermédiaire : il suffit de les faire directement... mais c'était pour que tu suives le raisonnement )


Donc le système de départ est équivalent au système suivant :
{ 3.x +  y +    z = 12  : L₁
{      5.y +  2.z = 12  : L'₂
{            51.z = 51  : L''₃

On en déduit que :
  { x =
  { y =
  { z =

D'où    { x =
          { y =
          { z = 1

D'où    { x =
          { y =
          { z = 1

D'où    { x =
          { y = 2
          { z = 1

D'où    { x =
          { y = 2
          { z = 1

Et donc  { x = 3
            { y = 2
            { z = 1

(là encore, bien sûr, tu peux aller plus vite dans la rédaction )

Si, si, Ariel : tu as utilisé la méthode par substitution. Et moi la méthode par combinaisons linéaires (ou du pivot de Gauss).
Les deux méthodes permettent d'aboutir... (la preuve : on a le même résultat )

oui merci, je voulais juste voir si ma méthode était correct, parce que moi et la méthode de combinaison ca fé 30! lol

Une remarque au niveau de la rédaction : il suffit en réalité d'écrire :

Le système
      { 3.x +  y +  z = 12  : L₁
      {   x + 2.y +  z = 8  : L₂
      {   x +  y + 4.z = 9  : L₃
a les mêmes solutions que le système
      { 3.x +  y +    z = 12  : L₁
      {      5.y +  2.z = 12  : L'₂ = 3.L₂ - L₁
      {      2.y + 11.z = 15  : L'₃ = 3.L₃ - L₁
qui est lui-même équivalent au système
      { 3.x +  y +    z = 12  : L₁
      {      5.y +  2.z = 12  : L'₂
      {            51.z = 51  : L''₃ = 5.L'₃ - 2.L'₂.

De L''₃, on déduit la valeur de z.
De L'₂, et connaissant la valeur de z, on en déduit celle de y
Enfin, de L₁, et connaissant les valeurs de y et z, on en déduit celle de x

(juste pour dire que ce n'est pas aussi long que ce que  l'on pouvait croire en lisant mon message )

oups

edit T_P : corrigé

merci beaucoup pour votre aide a toute les 2 ca m'aura permi d'apprendre quelque chose!!
Merci Emma pour m'avoir detaillé cette méthode du pivot de Gauss!! pourrait tu m'envoyer un systeme a résoudre pour voir si j'ai compris cette methode!! si ca ne te gene pas
merci!!

Merci Tom-Pascal, d'avoir corrigé mes bêtises

Choupie :
Je te propose le système suivant :
   {2.x - 3.y +   z = 4
   {  x + 6.y - 2.z = 2
   {3.x + 5.y + 6.z = -17

(sauf erreur de ma part, tu devrais arriver à x = 2, y = -1 et z = -3)

Bons calculs

@+
Emma

ok!! merci encore
a+
Choupie

pas de quoi choupie

Emma