Bonjour,

que vaut 4^n modulo 11 si n = 2 modulo 10

si n = 2 + 10k, 4^n = 4^(2+10k) = 4^2 × 4^(5*2k) = ... modulo

salut



donc (1)

or n = 11k + 2

donc

1/ que valent 4^11 et 3^11 (mod 11) ?

2/ finir de résoudre (2)

....

bon je mais trompé !!! en prenant 4^4n au lieu de 4^5n ...

à toi de corriger ....

bonjour ,

donc pour reprendre :

4⁵ⁿ+4ⁿ +n = 4ⁿ+1+n   [11]

et vus que :  n=2 [10]     -->    n =  10.k  + 2             (k )

donc :   4ⁿ+1+n = 4^10.k+2 + n  + 1 =  4².[4^5k]² + n + 1  =  4² + n + 1 = 0 [11]

et vus que :  16=5 [11 ]         ça devient  :        n=-6[11]     ->     n=5 [11]

donc l'ensemble des solutions c'est :    S= { 11.  + 5   /   }

Euh, s'il n'y a que ça d'écrit dans la rédaction il en manque un bout

(le passage "je sais que 4^(5n)=1 [11]")
pour écrire la 1ère congruence qu'il faut complèter par "0"

l'équation de départ est

4⁵ⁿ+4ⁿ +n = 0 [11]

de 4^(5n)=1 [11] on en déduit que cette équation est équivalente à
4ⁿ +n +1= 0 [11]

le système de départ est donc équivalent au système
{ 4ⁿ +n +1= 0 [11]
{ n = 2 [10]

il faut raisonner avec toujours un système que l'on garde comme système

ça se termine donc avec le système (qui reste toujours et jusqu'à la fin de cette chaîne d'équivalence un système)

{ n=5 [11]
{ n=2 [10]

et il reste donc à résoudre ce système réduit mais qui reste un système de deux équations

or ta résolution ne tient absolument pas compte de ce système mais ne résout que la première des deux
donc c'est faux.

par exemple = 1, n = 16
et 16 n'est pas = 2 modulo 10 que je sache ...


(nota tu pouvais choisir une lettre plus "classique" au lieu de qui nécessite des acrobaties pour l'écrire)

et quel est le système de départ ::

n = 2 [10] ou n = 2 [11] ?

bien vu
tout est à refaire...

dès le tout premier post de mamadou c'était incohérent :

Citation :
.... n 2 [11]

suivi de

.... n=2 [10]

pardon,une erreur en tapant , mais heureusement rien n'est à refaire car le système de départ c'est :

                {    4⁵ⁿ+4ⁿ+n =  0  [11]
                {  n = 2 [10]

donc à la fin on a :        n=5  [11]       .......(1
                                                n=2  [10]      ........(2

on multipliant  la 1) par 10 et la 2) par 11  et en additionnant :

21n  =  77 [110]  

mais là je bloque car je ne trouve un entier k à multiplier par 21 pour que 21k soit congrus à 1 mod (110)  .

ps : est ce que cette opération est juste :  1* 2  :  n² = 10 [110 ]  ???

pour résoudre un système de congruences "du premier degré" on utilise le "théorème des restes chinois"

en l'absence de ce théorème on se débrouille très bien simplement en continuant les calculs déja faits

tu as obtenu de façon parfaite à un tout petit détail près :

la solution de la seule équation n=5 [11] est n = 5 + 11k (j'appelle ça k au lieu de ton c'est plus facile à écrire)

et donc l'ensemble S des solutions du système (ce que l'on cherche)

{ n=5 [11]
{ n=2 [10]

est inclus dans ce que tu as dit (et pas "égal")

S { 11k+5 / k)
c'est à dire qu'il va falloir trouver le sous ensemble de N dans lequel sera k

c'est comme d'hab pour les systèmes, maintenant qu'on a trouvé la solution de la 1ère équation, il suffit de reporter cette solution dans la seconde ..

c'est à dire de résoudre la nouvelle équation en l'inconnue k
11k + 5 2 [10] !!
que l'on peut écrire
11k + 5 = 2 + 10m
qui est une "équation de Diophante" en les inconnues k et m que l'on devrait savoir résoudre (Euclide ou divination)
pour en déduire que k = k₀ + 10p, p parcourant Z (ou N)

il vient alors n = 11k + 5 = 11(k₀ + 10p) + 5 = n₀ + 110p

comme il se doit avec le théorème des restes chinois qui donnerait directement ce n n₀ [110]
(car 10 et 11 sont premiers entre eux, c'est ça le critère pour appliquer le théorème)

reste donc à faire les calculs (trouver k₀, une solution particulière de l'équation 11k + 5 = 2 + 10m) ...

soit en "récitant" sa table de 11 (ce que j'ai appelé "divination") soit en utilisant l'algorithme d'Euclide

on peut directement utiliser la congruence sans passer par l'équation diophantienne :

11k + 5 = 2 [10]      ->  11k=-3=7 [10]   , et vus que 11 = 1 [10]  donc :    k =7 [10] .

donc :  k =  10.a +7  (a )  

et vus que n= 11k+5  ->  n  =  11(10.a+7) + 5 = 110.a + 82

donc l'ensemble des solutions c'est :     S =  { 110.a  +82   }

tu pourrais m'informer plus sur le théorème des restes chinois  car avec la définition de Wikipédia je ne comprends pas trop .

oui, onpeut faire come ça "vu que 11 = 1 [10]" tout à fait

la méthode que j'ai indiquée était générale

mais bon
si tu sais et comprends ce qu'est l'inverse d'un nombre modulo m (et tu sembles le savoir) tous ces calculs sont "formellement" simpifiés"
(pratiquement bof, pour calculer cet inverse on résout l'équation Diophantienne )

repartons de ton début de résolution à toi :

n=5 [11] .......(1
n=2 [10] ........(2

en multipliant la 1) par 10 et la 2) par 11 et en additionnant :

21n = 77 [110]

ce qui est une opération valable parce que 10 et 11 sont premiers entre eux (on obtient une équation équivalente, mais piège il faut toujours garder un système, le nouveau système équivalent sera donc :

21n = 77 [110] ........ (1'
n = 2 [10] ........(2


mais ... quelques petites révision des calculs ?
10*5 + 11*2 = 72 et pas 77 (faute de frappe ??)

ensuite :
je ne trouve [pas] un entier k à multiplier par 21 pour que 21k soit congru à 1 mod (110)

c'est cette phrase qui me fait penser que tu maitrises (un peu) les inverses modulo m
vu que ce que tu cherches est l'inverse de 21 modulo 110

et le théorème de Bézout permet d'affirmer qu'il existe, car 21 et 110 sont premiers entre eux !!
il existe u et v tels que 21u + 110v = 1 s'écrit 21u 1 [110] et ce u est bien l'inverse de 21 par définition.
reste à le trouver ce qui n'est effectivement pas simple ... à moins de savoir réciter sa table de 21 (et sa table de 110)
là encore on trouve cette relation de Bézout (et donc l'inverse u) par l'algorithme d'Euclide
comme j'ai la flemme, j'ai dans mon tiroir un algo en JavaScript (ou en n'importe quoi) qui me le fait pour moi et me permet d'affirmer que l'inverse de 21 modulo 110 est 21 lui même :
21*21 = 441 = 4*110 + 1 est donc bien 1 [110]

ce qui permet de résoudre l'équation 21n 72 [110]
n = 21*72 [110]
ce qui redonne directement notre n 82 [110]
et c'est fini, après juste une vérification que cette fois cela satisfait bien à la deuxième équation du système.

passons au "théorème des restes chinois"

c'est en fait un bien grand mot pour dire ... les calculs qu'on a fait ici !!
à savoir que si m et p sont premiers entre eux :
le système
x a [m]
x b [p]
admet une solution modulo m*p (ça c'est pas trop dur et c'est ce qu'on a fait)

et plus intéressant que cette solution s'exprime par la formule :

x a*p*p^-1 + b*m*m^-1 [m*p]

en appelant m^-1 l'inverse de m modulo p et p^-1 l'inverse de p modulo m
(c'est pour ça que parler du théorème des restes chinois sans cette notion d'inverse modulo m serait acrobatique)

en effet modulo m le terme b*m*m^-1 0 [m] (car multiple de m)
et comme p*p^-1 1 [m]
cette égalité modulo m donne bien n a*1 + 0 [m]

et pareil pour modulo p.

bien entendu comme ces inverses se trouvent "dans le cas général" par l'algorithme d'Euclide, les calculs "dans le cas général" reviennent au même, c'est juste une présentation différente et plus compacte

OK , merci Beaucoup pour ton aide .