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Système dans Z/5Z

Posté par
matheux14 13-03-22 à 19:23

Bonsoir,

Merci d'avance.

Déterminer \lambda \in \dfrac{\Z}{5\Z} de façon que le système homogène :

\begin{cases} (\bar{3} -\lambda)x + \bar{4} y + \bar{3}z = \bar{0} \\ \bar{3}x + (\bar{3} -\lambda)y =\bar{0} \\ \bar{3} x +\bar{3} y -\lambda z =\bar{0} \end{cases} admette des solutions non nulles, et résoudre.

* Modération > Titre modifié plus adapté au sujet *

Posté par
carpediemre : Système quotient 13-03-22 à 19:53

salut

je note k le paramètre ...

avec la deuxième : 3x + 3y = ky

donc avec la troisième k(y - z) = 0 ...

Posté par
matheux14re : Système quotient 13-03-22 à 21:12

L'anneau  \dfrac{\Z}{5\Z}  n'est pas intègre..

\lambda = \bar{0} ou \lambda = \bar{1} ou \lambda = \bar{3} ou \lambda = \bar{5}

Posté par
verdurinre : Système quotient 13-03-22 à 21:22

Bonsoir,
comme 5 est premier \Z/5\Z est un corps.
Et donc un anneau intègre.
Et \bar0=\bar5

Posté par
matheux14re : Système quotient 13-03-22 à 21:29

Ok donc \lambda = \bar{0} ou y - z = \bar{0}

Pour que le système admette des solutions non nulles, il faut que \lambda \neq \bar{0}

Posté par
verdurinre : Système quotient 13-03-22 à 21:54

C'est le contraire.
Pour que  le système admette des solutions non nulles, il faut que \lambda =\bar{0}

Posté par
matheux14re : Système quotient 13-03-22 à 22:36

Ah oui, mais comment résoudre le système ?

Posté par
bernardo314re : Système quotient 13-03-22 à 22:55

Bonjour ,

dans le cas qui t'intéresse ton système devient :
3x + 4 y +  3 z = 0  et  3x + 3y = 0 , donc par différence  4y = 0 donc  y = 0 . Il te reste    3(x+y)=0  , 3 étant inversible, ça fait   x + y = 0 .Tu as donc comme solution   { ( x, 0, -x)  }  dont la nature est bien sûr...,  ?

Posté par
matheux14re : Système quotient 13-03-22 à 23:18

(Z/5Z)^3 ?

Posté par
matheux14re : Système quotient 14-03-22 à 00:23

Citation :
dans le cas qui t'intéresse ton système devient :
3x + 4 y +  3 z = 0  et  3x + 3y = 0 , donc par différence  4y = 0 donc  y = 0 . Il te reste    3(x+y)=0  , 3 étant inversible, ça fait   x + y = 0 .Tu as donc comme solution   { ( x, 0, -x)  }  dont la nature est bien sûr...,  ?



J'ai pas compris.. pourquoi la partie en rouge ?

Posté par
larrechre : Système quotient 14-03-22 à 08:32

Bonjour,

Il y a une erreur de lecture (3x+3z=0 au lieu de 3x+3y=0)

Cela dit, tu as un système de 2 équations à 3 inconnues. Tu dois être capable de le résoudre quand même Choisis l'une des inconnues comme paramètre.

Posté par
matheux14re : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 10:15

Je choisis z comme paramètre..

Posté par
larrechre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 10:25

Pas de chance, comme l'une des équations est , au facteur 3 près, x+y=0, tu ne peux prendre que x ou y. Au choix.

Posté par
larrechre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 10:49

Cela dit, méfie-toi, on n'est pas dans mais dans /5

Posté par
matheux14re : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 11:09

Dans ce cas je choisis x comme paramètre mais j'ai pas bien compris..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 11:43

Bonjour,

verdurin @ 13-03-2022 à 21:54

C'est le contraire.
Pour que le système admette des solutions non nulles, il faut que \lambda =\bar{0}
Heu ...
Si = 2, x = 1 et y = z = 2 ?

Posté par
GBZMre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 12:21

Bonjour,

Le déterminant du système, en tant que polynôme en \lambda, est scindé sur le corps \Z/5\Z.
Ses racines sont ...

Posté par
matheux14re : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 13:09

J'ai pas compris..

Vous me demandez les solutions du système ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 13:39

Je propose, comme carpediem, de noter k au lieu de , car plus facile à écrire.
Puisque le cas k = 0 a été entrevu comme cas particulier, on peut continuer dans cette direction en séparant en deux cas :
1) k = 0.
2) k 0
Dans les deux cas, on peut se ramener à un système de 2 équations à 2 inconnues.
Ce qui permet d'utiliser, si nécessaire, un déterminant (2,2).

Posté par
GBZMre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 14:01

matheux14, est-ce que tu sais ce qu'est le déterminant d'un système de trois équations linéaires à trois inconnues ?

Posté par
matheux14re : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 14:11

Bien sûr, c'est le déterminant de la matrice associée au système..

Posté par
GBZMre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 14:21

Donc tu sais le calculer.
Et tu sais peut-être aussi que le système a une unique solution si et seulement si le déterminant du système est non nul (système de Cramer).
Dans le cas d'un système 3x3 homogène où il y a toujours la solution nulle, c'est l'unique solution quand le système est de Cramer (déterminant non nul). Il y a des solutions non nulles si et seulement si le déterminant est nul : la matrice du système est alors de rang < 3, et l'espace des solutions est le noyau de cette matrice, qui n'est pas réduit au sous-espace nul.

Posté par
bernardo314re : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 14:29

Oups , désolé pour mon erreur de lecture.  Après comme  ton corps Z/5Z n'a que  5 éléments, ce n'est pas forcément joli mais si tu traites les  5 possibilités tu arrives au bout sans te poser de question...

Posté par
verdurinre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 16:24

Merci Sylvieg pour la correction.
Je m'étais trompé en calculant le déterminant.

Posté par
matheux14re : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 16:47

GBZM @ 14-03-2022 à 14:21

Donc tu sais le calculer.
Et tu sais peut-être aussi que le système a une unique solution si et seulement si le déterminant du système est non nul (système de Cramer).
Dans le cas d'un système 3x3 homogène où il y a toujours la solution nulle, c'est l'unique solution quand le système est de Cramer (déterminant non nul). Il y a des solutions non nulles si et seulement si le déterminant est nul : la matrice du système est alors de rang < 3, et l'espace des solutions est le noyau de cette matrice, qui n'est pas réduit au sous-espace nul.


\begin{pmatrix} \bar{3} - \lambda & \bar{3} & \bar{3} \\ \bar{3} & \bar{3} -\lambda & \bar{3} \\ \bar{3} & \bar{0} & \lambda \end{pmatrix}

Comment simplifier le déterminant de cette matrice ?

Posté par
GBZMre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 17:11

Calcule-le !

Posté par
carpediemre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 17:22

3x + 3y - kz = 0 \iff x + y - 2kz = 0 \iff x = 3kz - y

puis je substitue dans les deux premières :

(3 - k)(3kz - y) + 4y + 3z = 0 \\ 3(3kz - y) + (3 - k)y = 0

(1 - k)y +(3k^2 + 4k + 3)z = 0 \\ -ky + 4kz = 0

(k - 1)y + 2(k - 1)^2z = 0 \\ k(y + z) = 0

le déterminant de ce système est facile à calculer ... et aisé à factoriser ...

Posté par
verdurinre : Système dans Z/5Z 14-03-22 à 17:23

La matrice du système de départ était plutôt
\begin{pmatrix} \bar{3} - \lambda & \bar{4} & \bar{3} \\ \bar{3} & \bar{3} -\lambda & \bar{0} \\ \bar{3} & \bar{3} & -\lambda \end{pmatrix}

On peut aussi développer le déterminant suivant la dernière colonne

\begin{vmatrix} \bar{3} - \lambda & \bar{4} & \bar{3} \\ \bar{3} & \bar{3} -\lambda & \bar{0} \\ \bar{3} & \bar{3} & -\lambda \end{vmatrix}=\bar{3}\begin{vmatrix}\bar{3} & \bar{3} -\lambda\\ \bar{3} & \bar{3}\end{vmatrix}+(-\lambda)\begin{vmatrix}\bar{3} - \lambda & \bar{4} \\ \bar{3} & \bar{3} -\lambda\end{vmatrix}


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