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systeme matriciel avec paramètre, CRAMER
Soit la matrice M
1,m+1,0,2m
m,0,1,1
2m+1,1,m+1,1
0,0,m+1,m+1
X=(x,y,z,t) et B=(a,b,c,d)
questions
1-Calculer le determninant de M.En déduire les valeurs du paramètres m pour lesquelles le système écrit matriciellement M.X=B n'est pas de CRAMER.
2-Pour chacunes des valeurs: m=0 et m=-1, donner les condtions sur a,b,c,d pour que l'equation M.X=B admette des solutions et donner alors les solutions.
On exprimera les solutions sous la forme X=Xp+Z
ou Xp est une solution particulière de M.X=B
et Z est solutions de M.Z=0
3-Facultatif:donner les conditions sur a,b,c,d pour que l'équation M.X=B admette des solutions quand m=-3 et donner alors les solutions.
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question 1
j'ai trouvé det(M)=-m2(m+1)(m+3)
Donc le système n'est pas de Cramer pour les valeurs m=0, m=-1 et m=-3
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Pour ce qui est de la question 2 et 3, je ne sais pas par ou commencer, si on pouvait me donner les orientations que je puisse commencer ca m'aiderait beaucoup.
Merci d'avance
Bonjour maxou_n.
Je trouve le même déteminant que toi. J'appelle A la matrice du système, f l'endomorphisme associé.
1°) m = 0
En remplaçant m par 0 dans la matrice du système, cela me donne :
Cette matrice est de rang 2 et les colonnes C2 et C3 sont indépendantes, donc :
Im(f) = Vec{C2, C3} = {a.C2 + b.C3, a et b réels}
Cela signifie que
Comme AX = B impose B dans Im(f), on en déduit :
AX = B a des solutions ssi c = a+b et d = b
On résout le système sous cette hypothèse en prenant y et z pour inconnues et x et t pour paramètres. Je trouve :
x = x
y = a - x
z = b - t
t = t
Cela s'écrit :
La somme des deux premiers vecteurs représente un élément de Ker(f), le troisisème une solution de l'équation complète.
A plus RR.
Raymond
est-ce qu'on peut revenir sur l'autre exercice car j'aimerai le finir entièrement et le comprendre.(Le système différentiel)
J'ai trouvé un résultat qui est différent du tient, donc je ne vois pas très bien d'ou peut venir cette différence.
Bonne soirée
J'ai jeté tous mes brouillons concernant cet exercice.
Tu trouves une exponentielle de ta matrice A. Comment as-tu fait pour calculer etA ?
A plus RR.
A= PDP-1
X'=AX ===> dX/dt=A X ===> dX/X=A dt
On integre les deux membres ce qui donne lnX= At ==> X=CetA
C etant une constante
donc etA=P.eDP-1=X=(x1,x2,x3)
La matrice D=A'
0,1,0
0,0,1
0,0,0
la matrice P
1,0,1
1,1,1
-1,0,-1/2
la matrice P-1
-1,0,-2
-1,1,0
2,0,2
X=(x1,x2,x3)
x1=-Cet+Cet
x2=-Cet+Cet
x3=Cet-Cet
Maintenant je suis pas sur de la résolution du système différentiel
mais les calculs sont justes.
J'ai continué cette exercice comme tu me l'avais dit mais il faut aller voir dans l'autre énoncé.
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