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Systeme matricielle avec parametre, Cramer (2)
Soit la matrice M
1,m+1,0,2m
m,0,1,1
2m+1,1,m+1,1
0,0,m+1,m+1
X=(x,y,z,t) et B=(a,b,c,d)
questions
1-Calculer le determninant de M.En déduire les valeurs du paramètres m pour lesquelles le système écrit matriciellement M.X=B n'est pas de CRAMER.
2-Pour chacunes des valeurs: m=0 et m=-1, donner les condtions sur a,b,c,d pour que l'equation M.X=B admette des solutions et donner alors les solutions.
On exprimera les solutions sous la forme X=Xp+Z
ou Xp est une solution particulière de M.X=B
et Z est solutions de M.Z=0
3-Facultatif:donner les conditions sur a,b,c,d pour que l'équation M.X=B admette des solutions quand m=-3 et donner alors les solutions.
---------------------------------------------------------------------------
question 1
j'ai trouvé det(M)=-m2(m+1)(m+3)
Donc le système n'est pas de Cramer pour les valeurs m=0, m=-1 et m=-3
---------------------------------------------------------------------------
Pour ce qui est de la question 2 et 3, je ne sais pas par ou commencer, si on pouvait me donner les orientations que je puisse commencer ca m'aiderait beaucoup.
Merci d'avance
posté le 19/11/2007 à 12:14systeme matriciel avec paramètre, CRAMER
posté par : raymond
Bonjour maxou_n.
Je trouve le même déteminant que toi. J'appelle A la matrice du système, f l'endomorphisme associé.
1°) m = 0
En remplaçant m par 0 dans la matrice du système, cela me donne :
Cette matrice est de rang 2 et les colonnes C2 et C3 sont indépendantes, donc :
Im(f) = Vec{C2, C3} = {a.C2 + b.C3, a et b réels}
Cela signifie que
Comme AX = B impose B dans Im(f), on en déduit :
AX = B a des solutions ssi c = a+b et d = b
Bonjour, je repost un nouveau topic pour ne pas deranger le posteur initial :
On résout le système sous cette hypothèse en prenant y et z pour inconnues et x et t pour paramètres. Je trouve :
x = x
y = a - x
z = b - t
t = t
Cela s'écrit :
La somme des deux premiers vecteurs représente un élément de Ker(f), le troisisème une solution de l'équation complète.
A plus RR.
Voila c'est la partie en gras que je ne comprend pas, merci
Bonsoir.
Dans le cas m = 0, nous avons vu que le système est de rang 2, donc il faut choisir dans la matrice un déterminant d'ordre 2 non nul. L'un d'entre eux s'impose au premier coup d'oeil :
lignes 1 et 2 et colonnes 2 et 3. Cela donne en effet :
1 0
0 1
Alors, ce choix me dicte les inconnues principales car le système devient :
y = a - x
z = b - t
Tu remarques que cela suffit compte tenu de c = a + b (la troisième équation est vérifiée) et de b = d (la quatrième équation est vérifiée).
Maintenant, venons en à l'écriture des solutions. Comme x = x et t = t, on écrit
Enfin, revenons à la théorie. On sait que le système linéaire AX = B admet pour solutions tous les vecteurs du type :
X = K + X0, où K décrit Ker(M) et où X0 est une solution particulière du système.
Naturellement, tu peux chercher "à la main" ces solutions en résolvant 1°) MX = O et en cherchant une solution particulière de 2°) MX = B
Personnellement, j'ai toujours enseigné à mes élèves la technique consistant à écrire les solutions en fonction des inconnues non principales, cela permet de trouver K et X0 immédiatement.
A plus RR.
Bonjour,
Donc si j'ai bien compris, ce qui m'etonnerais 
Pour m=-1, on a une matrice de rang 3
1 0 0 -2
-1 0 1 1
-1 1 0 1
0 0 0 0
On cherche donc un déterminant d'ordre 3 non nul. Ligne 2 et 3 colonne 3 et 4
1 1
0 1
et apres j'ai pas compris d'ou le systeme devient ce qu'il devient au dessus donc je suis bloqué 
Bonjour.
"On cherche donc un déterminant d'ordre 3 non nul." D'accord avec toi. Ce qui signifie trois lignes et trois colonnes. Ton :
1 1
0 1
est nettement insuffisant.
Je te propose les trois premières lignes et les trois premières colonnes. Cela donne un mineur 3X3 :
1 0 0
0 0 1
-1 1 0
Alors, cela signifie que :
1°) une base de Im(f) est formée par les trois premiers vecteurs de ta matrice M :
Alors, MX = B a des solutions ssi B € Im(f) donc ssi
B = k1v1 + k2v2 + k3v3
On trouve pour condition : d = 0
Le choix de nos trois premières colonnes donne x,y,z, comme inconnues principales et t comme paramètre :
On en déduit facilement que si d = 0, les solutions sont :
.
La première colonne est une solution particulière, la seconde représente tous les éléments de Ker(f).
On voit que dim(Ker(f)) = 1, ce qui est normal puisque rg(M) = 3.
Bonjour et merci de vos explications 
Si j'ai bien suivi il y a une erreur a v1 = 1 -1 -1 0 plutot ce qui change les résultats apres :
z - x = b - t
a+2t a 2
c+a+t a+c 1
X = b+a+t = b+a + t 1
t 0 1
Non ?
Bonjour et merci de vos explications
Si j'ai bien suivi il y a une erreur a v1 = 1 -1 -1 0 plutot ce qui change les résultats apres :
z - x = b - t
a+2t a 2
c+a+t a+c 1
X = b+a+t = b+a + t 1
t 0 1
Non ?
Plein d'erreur de post j'arrive pas a mettre en forme je clique sur poster au lieu d'appercu
Si j'ai bien suivi il y a une erreur a v1 = 1 -1 -1 0 plutot ce qui change les résultats apres :
z - x = b - t
a+2t a 2
c+a+t a+c 1
X = b+a+t = b+a + t. 1
t 0 1
Non ?
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