Tu parles d'un système de N équations linéaires à N inconnues ?
Quand le déterminant du système est non nul.
Cela revient effectivement à considérer chaque équation comme un hyperplan dans un espace vectoriel de dimensions N+1, et les coefficients comme ceux de vecteurs normaux à chacun de ces hyperplans. La solution est unique quand ces vecteurs normaux sont indépendants : il y a un seul point d'intersection de ces hyperplans.

les coefficients sont à prendre dans le sens vertical ou horizontal ?

Il se trouve qu'une matrice carrée a même déterminant que sa transposée.
Mais dans l'interprétation géométrique, chaque équation est assimilée à celle d'un (hyper)plan et donc les coefficients de son vecteur normal sont les coefficients de l'équation, donc les coefficients "horizontaux".

Mais si pars d'un système de N vecteurs de dimension N, l'usage veut qu'on représente leurs coordonnées verticalement, et la recherche de leur indépendance te fera écrire une matrice où les coefficients de ces vecteurs sont justement placés verticalement.

Je crois qu'il vaudrait mieux que tu formules ta question complète, car j'ai peur que mes réponses soient des considérations générales qui n'ont que peu de rapport avec ton problème immédiat.

dans un espace vectoriel de dimension finie n, on considère un système de n vecteurs

Leurs coordonnées sont

Rechercher s'ils sont dépendants, c'est rechercher une suite de réels non tous nuls tel que


Ce que tu peux retranscrire en termes d'équations sur les coordonnées, où les coefficients des variables x sont ceux des vecteurs, qui apparaissent naturellement en vertical



Ce système a une solution unique si son déterminant est nul.
Si c'est le cas, alors cette solution est la solution évidente (0,...,0) : donc les vecteurs sont bien indépendants si et seulement si ce déterminant est 0.

la question c'etait :

On considère le système linéaire dépendant des paramètres a,b,c et m suivant :

x - my = a
mx + y = b
x + mz = c

A quelle condition sur le paramètre m ce système admet une unique solution ?

J'ai essayé avec gauss j'ai pas trouvé , avec ta méthode du déterminant j'obtiens xymz - m²xz .

Et ma réponse est : seulement si m différent de 0...

Euh, je ne crois pas que ce soit ça !

Ton système, il faut l'écrire de manière canonique, en faisant apparaitre les coefficients de x, y, z, même s'ils sont nuls, et au bon endroit


ce qui te permets d'écrire la matrice du système


Le déterminant vaut et ta réponse est donc : une seule solution si

Mais Gauss t'aurait permis de trouver la réponse aussi. Son interprétation est plus délicate.

il faut lire

et pas

si m différent de 0 c'est bien ce que tu as noté ?

oui avec gauss c'est chaud je serai curieuse de voir ce que ça donne , tu saurais le faire ?

et c'est là que la discussion s'engage, car il y a un risque de division par 0

si m=0, alors le système devient



aucune solution si
infinité si c=a (en fait z peut alors être quelconque, il n'y a plus aucune contrainte sur z)

si , alors le système admet une seule solution

c'etait bien délicat ,  là pour répondre à la question on a raisonné sur R , mais si la question portait dans C ( complexes ) , j'ai tjs le déterminant :

m(1+m²) , ya quelque chose à changer sans me donner la réponse ?

Evidemment, qu'il y a quelque chose de changé.
sur , l'équation admet 3 solutions : 0, i, -i

dans ce cas, la méthode de Gauss se complique un peu dans la mesure où on divise à un moment par . Il faudrait à ce moment entamer la discussion suivant les valeur i et -i que peut prendre m.

je te remercie bcp pour ton aide dhalte