Bonjour denje;
Tu n'as qu'à poster le systéme qui te trouble et on verra bien ce qu'il faut faire

Bonjour,
Voici mon système:
ab x + y + ab z + b t = 0
a  x + b y + a z + t = 0
b x + a y + b z + t = 0

les cas que j'ai étudié sont:
1°) b = 0
sous-cas: a=0 et a différent de 0
2°) b différent de 0
sous-cas: a=0 et a différent de 0
3°) b = a
4°) b différent de a différent de 0
sous-cas: a=1 et a=-1


je n'ai pas détaillé le tout, ca me prend a peut près 4 face A4 ... Quelqu'un a-t'il le courage d'essayer de résoudre ce système?
d'avance merci

bonjour,

tu as à priori 4 inconnues (x, y, z, t) mais tu n'as que 3 équations .... est-ce normal ?

Pookette

Bonjour Pookette,
oui, c'est bel et bien normal, c'est un exercice "type" d'examen de mon université

denje

puisque tu es parti sur des cas / sous-cas, es-tu parvenu à quelque chose ou faut-il tout (re)faire ?

Pookette

oui je suis parvenu a faire quelque chose, mais je crains de faire trop (trop peu?) de cas/sous cas... voici mes résultats:

Cas n°1:
b=0 -> mon système devient
(0 1 0 0)
(a 0 a 0)
(0 a 0 1)
lorsque a différent de 0,il s'en suit que:
(0 1 0 0)
(1 0 1 0)
(0 0 0 1)
et donc mon système est de dimension 1 et a comme base: (1,0,-1,0)

lorsque a=0, il s'en suit que:

désolé pour l'erreur de manipulation, je continue

Cas n°1: b=0
-> mon système devient
(0 1 0 0)
(a 0 a 0)
(0 a 0 1)
lorsque a différent de 0,il s'en suit que:
(0 1 0 0)
(1 0 1 0)
(0 0 0 1)
et donc mon système est de dimension 1 et a comme base: (1,0,-1,0)

lorsque a=0, il s'en suit que:
(0 1 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 1)
ce qui me donne un système de dimension 2 avec comme base: (1,0,0,0);(0,0,1,0)

Cas n°1: b différent de 0

Lorsque a=0, le système devient:
(0 1 0 b)
(0 b 0 1)
(b 0 b 1)

ce qui me donne par : L'1=L1-b L2  et L'3=L3-L2
(0 1-b² 0 0)
(0 b 0 1)
(b 0 b 0)
dois-je étudier le cas ou b=1 et b=-1 ?
ce qui donne pour différent de 1 et -1:
(0 1 0 0)
(0 0 0 1)
(1 0 1 0)


donc ma dimension est 1 et ma base: (1,0,0,-1)

Lorsque a est différent de 0, le système devient par L'1=L1-a L3:

(0 1-a² 0 b-a)
(a  b   a  1)
(b  a   b  1)

Lorsque a=b, le système est:
(0 1-a² 0 0)
(a  a   a 1)
pareil, étudier le cas ou a=1 et a=-1 ??
et donc équivaut à:
(0 1 0 0)
(a 0 a 1)
ma dimension est 2 et mes bases: (1,0,0,-a);(0,0,1,-a)

Lorsque a différent de b différent de 0
a=1:
(0 0 0 b-1)
(1 b 1   1)
(b 1 b   1)

b étant différent de 1 (car j'étudie le cas ou a différent de b et a=1) je ne dois pas étuder ce cas là, ce qui me donne par L'3=L3-b L2:
(0 0   0 1)
(1 b    1 0)
(0 1-b² 0 0)
pareil, dois-je étudier le cas ou b= -1 ? a prioris je dirais oui ...
ce qui donne:
(0 0 0 1)
(1 0 1 0)
(0 1 0 0)
et donc dimension=1 base=(1,0,-1,0)

Lorsque a= -1:

(0 0 0 b+1)
(-1 b -1 1)
(b -1 b 1)
ce qui donne (car b différent de a):
(0 0 0 1)
(-1 b -1 0)
(b -1 b 0)
ensuite:
(0 0 0 1)
(-1 b -1 0)
(0 -1+b²0 0)
étudier b-1 ?
ce qui donne finalement:
(0 0 0 1)
(1 0 1 0)
(0 1 0 0)
dimension=1 base est denouveau: (1,0,-1,0)

Voila, je me suis arrêté là, et je me suis dit qu'il y avait un problème étant donné que j'obtiens déjà 3 fois la même base pour 3 discussions différentes, donc ca équivaut au même cas ...

je remonte un peu le post, personne n'a le courage de vérifier mon travail ? mon réel problème est de déterminer les cas à discuter, donc  je me suffirais d'une nomination de la discution, avec juste quelques explications quant au choix des valeurs des paramètres
bonne journée à tous

je suis désolée denje, mais cet exercice me laisse perplexe... j'espère qu'elhor ou un autre GM t'aidera mieux que moi.

Pookette

bonjour pookette,
aucuns problèmes je te remercie d'avoir répondu!

Attention, il y a probablement des erreurs dans ce qui suit, je n'ai rien relu.

ab x + y + ab z + b t = 0
a  x + b y + a z + t = 0
b x + a y + b z + t = 0

Par soustraction membre à membre des 2 dernières équations:

(a-b)x + (b-a)y + (a-b)z = 0

1°)
Si a est différent de b -->
x - y + z = 0

ab x + y + ab z + b t = 0
a  x + b y + a z + t = 0

ab x + y + ab z + b t = 0
ab x + b² y + ab z + bt = 0
--> y(b²-1) = 0

Soit y = 0, soit b = +/-1

Si b est différent de +/- 1 --> y = 0
x+z = 0

a  x + b y + a z + t = 0
a(x+z) + by + t = 0
0 + 0 + t = 0
t = 0

Avec a différent de b et b différent de +/-1, on a:
y = 0, t = 0 et z = -x
On peut choisir librement x et calculer le z correspondant.
-----
Si a est différent de b mais que b = 1

le système devient:

a x + y + a z + t = 0
a x + y + a z + t = 0
x + a y +  z + t = 0

Les 2 premières équations sont identiques --> il reste:

a x + y + a z + t = 0
x + a y + z + t = 0

On devrait pouvoir choisit librement 2 des variables , oar exemple x et z et déduire les autres:

a x + y + a z + t = 0
t = - x - a y - z

a x + y + a z - x - a y - z = 0
y(1-a) = z(1-a) + x(1-a)
et comme a est différent de b = 1 -->
y = z + x

t = - x - a(z + x) - z
t = -(a+1)(x+z)

Avec a différent de b et b = 1, on a:
On peut choisitr librement x et z et calculer y et t par:
y = z + x
t = -(a+1)(x+z
-----
Si a est différent de b mais que b = -1

le système devient:

-a x + y - a z -  t = 0
a x -  y + a z + t = 0
-x + a y -  z + t = 0

Les 2 premières équations sont identiques --> il reste:

a x -  y + a z + t = 0
-x + a y -  z + t = 0

on continue comme le cas précédent ...
-----
Si a = b
Le système devient:

a² x + y + a² z + a t = 0
a x + a y + a z + t = 0
a x + a y + a z + t = 0

Les 2 dernières équations sont identiques --> il reste:

a² x + y + a² z + a t = 0
a x + a y + a z + t = 0

a² x + y + a² z + a t = 0
a² x + a² y + a² z + a t = 0

--> y(a²-1) = 0

soit y = 0, soit a = +/- 1
---
1°)
Si y = 0, le système devient:

a² x  + a² z + a t = 0
a x  + a z + t = 0
a x  + a z + t = 0

soit:
a² x  + a² z + a t = 0
a x  + a z + t = 0

soit une seule équation:
a x  + a z + t = 0

On peut imposer 2 des variables et calculer la 3 ème ...
---
2°)
si a = 1
...

3°)
si a = -1
...
-----

Tous les cas devraient avoir été abordés.

En corrigeant les erreurs ...

Bonjour J-P,
tout d'abord, un grand merci pour cet effort, ca fait énormément plaisir!
Ce que je remarque donc à présent, c'est le fait que je procède mal lors de la résolution d'un système, et avoir un exemple concret va plus que certainement m'aider! encore merci! j'ai à présent une idée de la manière de procéder lors d'un exercice de ce type!!!
Bonne journée à tous!