bonjour, demain je suis évaluée sur un tableur sur l'exercice suivant. Or je ne vois vraiment pas comment faire alors si quelqu'un pourrait me donner la piste à suivre merci
à l'aide d'un tableur et en utilisant la méthode d'Euler, construire une courbe qui approche la courbe de la fonction solution sur [0;/2] de l'équation différentielle :
y' + xy = sin (x)
y(0) = 1
On me dit de prendre au choix un pas de /32 ou
/16
Merci d'avance pour votre aide
y(0) = 1
Avec y' + xy = sin (x)
En 0 -->
y'(0) + 0 = 0
y'(0) = 0
y(Pi/32) = y(0) + y'(0)*Pi/32
y(Pi/32) = 0 + 0*Pi/32 = 0
Avec y' + xy = sin (x)
En Pi/32 -->
y'(Pi/32) + (Pi/32)*0 = sin(Pi/32)
y'(Pi/32) = 0,09801714033
y(2 * Pi/32) = y(Pi/32) + y'(Pi/32)*Pi/32
y(2 * Pi/32) = 0 + 0,09801714033*Pi/32 = 0,0962281025
Avec y' + xy = sin (x)
En 2Pi/32 -->
y'(2Pi/32) + (2Pi/32)*0,0962281025 = sin(2Pi/32)
y'(2Pi/32) = 0,176195978273
y(3 * Pi/32) = y(2Pi/32) + y'(2Pi/32)*Pi/32
...
Et on continue ainsi à calculer les valeurs de y(...) jusque y(Pi/2)
Ces calculs répétitifs peuvent facilement être faits via un tableur...
A toi (Attention, je n'ai pas vérifié l'exactitude de mes calculs).
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oki merci
c'est vachement compliqué en fait parce que faut faire en ligne sur la tableur : d'abord calculer y1 puis sa dérivée, ensuite y2 puis sa dérivée, etc
Non, ce n'est pas très compliqué.
Par exemple avec Excel.
colonne 1 : x par pas de Pi/32
colonne 2: y = y précédent + y' precédent * Pi/32
colonne 3: y' = sin(x) - xy (et on connait x (colonne et y (colonne 2).
Il faut bien entendu mettre la valeur initiale de y tout au dessus dans la colonne des y.
...
j'ai mis comme formule dans y1 : y0 + y'0 * pi/32
dans y2 : y1 + y'1 * pi/32
et dans y'1 j'ai mis : sin(x0) - x0 * y0
dans y'2 j'ai mis : sin(x1) - x1 * y1
Oui, mais il y a quelque chose qui a foiré.
Par exemple, dans ton tableau:
Supposons même que (3ème ligne)
xi = 0,1963495 et yi = 0,999969 soient corrects, alors :
On calcule y'i = sin(xi) - xi.yi
y'i = sin(0,1963495) - 0,1963495*0,999969 (les angles sont en radians).
et la réponse devrait être: yi = -0,00125313
et ton tableau donne yi = 0,175838
Il y a manifestement une erreur.
Bonjour J.-P.
Par une petite modification du calcul (et l'ajout de trois colonnes) j'ai fait cet exercice en utilisant la méthode des pas intermédiaires, approximation souvent meilleure que la méthode d'Euler. Dans le cas présent la différence est assez faible : y(pi/2) = 0,8398...
Croyez-vous intéressant que je poste le tableau correspondant (avec les explications...) ou cela est-il hors sujet ?
Merci et cordialement
"Coll"
Salut Coll
Ce n'est pas hors sujet.
Mais rappelle que ce que tu présentes est une autre méthode que celle demandée pour ne pas risquer de perturber tatasse802
Bonjour à tous,
J'ai suivi avec intérêt hier soir votre dialogue... et j'ai profité de votre travail pour ajouter un utilitaire dans mes fichiers de tableur. Merci !
Je confirme tout à fait les résultats et le tableau de J.-P. : c'est la méthode d'Euler.
Pour certaines équations différentielles cette méthode conduit à une courbe qui s'éloigne nettement de la courbe intégrale ; aussi elle a été améliorée sous le nom de "méthode des pas intermédiaires".
Voici le principe :
Le segment du point Pi au point Pi+1 est tracé en utilisant la valeur de la dérivée calculée non pas en Pi (ce qui est la méthode d'Euler) mais en un point intermédiaire dont l'abscisse est celle de (Pi + un demi-pas) et dont l'ordonnée est calculée, comme dans la méthode d'Euler, à partir de l'ordonnée de Pi et de la dérivée en ce même point Pi.
La réalisation sur tableur :
première ligne :
x0
y0
y' en ce point (x0, y0) : y'0
abscisse du premier point intermédiaire : xint = x0 + pas/2
ordonnée du premier point intermédiaire : yint = y0 + y'0.pas/2
y' en ce point intermédiaire : y'int
deuxième ligne :
(x précédent) + pas
(y précédent) + (y'int précédent).pas
y' en ce nouveau point
(xint précédent) + pas
(yint précédent) + (y' de ce nouveau point).pas/2
y' en ce point intermédiaire
J'espère avoir été clair...
Je poste seulement les 3 premières et 3 trois dernières lignes : ce n'est pas de la rétention d'information... c'est à cause de la taille de l'image
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