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taf et suites

Posté par
aya4545
26-01-22 à 10:35

salut
je suis coincé dans cette question  voici l enoncé de l exercice
u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+.........+\frac{1}{n!} \quad v_n=u_n+\frac{1}{nn!}
1)montrer que (u_n) \quad (v_n) sont adjacentes
2)H(x)=e^{-x}\sum\limits_{\substack{i=0 }}^{n}{\frac{x^i}{i!} }
a) montrer que \forall x \in [01] \quad |H'(x)|\leq \frac{1}{n!}
b)montrer que |\frac{u_n}{e}-1|\leq \frac{1}{n!}
c) deduire  \lim u_n et que  e \notin \Q
je suis incapable  de montrer que e \notin \Q
j ai essayé par absurde j ai donc supposé qu il existe deux entiers p et q premier entre eux tel que e=\frac{p}{q} j ai essayé de trouver une contradiction mais en vain je n ai rien trouvé

Posté par
lake
re : taf et suites 26-01-22 à 12:18

Bonjour,

En partant de u_q<\dfrac{p}{q}<v_q et en multipliant par qq!, tu dois trouver ta contradiction.

Posté par
aya4545
re : taf et suites 26-01-22 à 13:21

Bonjour
merci lake suivant vos consignes
j ai :qq!(1+\frac{1}{1!}+....\frac{1}{p!})\leq pq!\leq (qq!+qq!+\frac{qq!}{2!}+....+q)+1 je dois donc  chercher une contradiction ( soit     p<q  soit chercher un entier different de 1 qui divise p et q )vraiment incappable d avancer

Posté par
aya4545
re : taf et suites 26-01-22 à 14:16

mais ona encore u_q\leq e\leq v_q en multipliant les trois membres par q!q  on aura  P\leq e\leq P+1 avec P entier  (:qq!(1+\frac{1}{1!}+....\frac{1}{q!})=P   ce qui est absurde merci lake

Posté par
lake
re : taf et suites 26-01-22 à 14:37

Voilà : on se retrouve avec l'entier pq! compris strictement entre deux entiers consécutifs



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