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Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse a

Posté par
polapeyr
05-11-21 à 16:14

Bonjour,
J'ai un exercice de maths a faire, voici l'énoncé:

Dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O on note C la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
a étant un réel appartenant à l'intervalle ]0;e] , on note T la tangente à la courbe C au point A d'abscisse a.


M est le point d'intersection de la tangente T avec l'axe des abscisses et N est le point d'intersection de la tangente T avec l'axe des ordonnées.
1.  Déterminer les coordonnées des points M et N.

J'ai donc essayé de calculer l'eq de la tangente au point A,  y=f'(a)(x-a)+f(a)=1/x(x-a)+ln(x)=a/x+ln(x)
mon calcul est il bon ?
merci d'avance

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:17

Bonjour
Poste le graphique

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:34

Voici le graphique, et en refaisant ma tangente, j'ai trouvé y=x/a-1+ln(x)

Tangente a la courbe de la fonction  ln au point d\'abscisse

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:52



y=f'(a)(x-a)+f(a)

f'(a)=.....
f(a)=.......

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:53

f'(a)=1/a
f(a)=ln(a)

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:55

Maintenant  écris l'équation

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:56

1/x(x-a)+ln(a)

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:58

*y=1/a(x-a)+ln(a)

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 16:58

y=x/a-1+ln(a)

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:07




Citation :
.      *y=(1/a)(x-a)+ln(a)

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:10

Ca ne sert a rien de develloper?

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:18

Tu peux toujours écrire:

(x-a)/a+ln(a)
ou

(x/a) -1+ln(a)

En  fait tu avais écrit cette équation....mais sans les parenthèses

Surtout utilise les parenthèses

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:25

d'accord, merci.
Pour trouver les coordonnées de M, je fais (x/a)-1+ln(a)=0 , et pour trouver celles de N, je fais (0/a)-1+ln(a) ?

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:34

Oui

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:39

Donc M(a-aln(a);0) et N(0;ln(a)), sauf que cela devrait etre  N(0;-ln(a))

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:50

A demain
Préparation du repas oblige

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 17:51

merci, a demain

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 18:12

Est ce que quelqu'un d'autre est disponible?

Posté par
polapeyr
Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse A 05-11-21 à 19:38

Bonjour,
J'ai un exercice de maths a faire, voici l'énoncé:

Dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O on note C la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
a étant un réel appartenant à l'intervalle ]0;e] , on note T la tangente à la courbe C au point A d'abscisse a.


M est le point d'intersection de la tangente T avec l'axe des abscisses et N est le point d'intersection de la tangente T avec l'axe des ordonnées.
1.  Déterminer les coordonnées des points M et N.
2.  Prouver que l'aire du triangle OMN est égale à  
3.  Déterminer la valeur de a pour laquelle l'aire du triangle OMN est maximale et donner la valeur de cette aire maximale.


j'ai donc trouvé que T:y=(x/a) -1+ln(a)
et que pour trouver les coordonnées de M, je fais (x/a)-1+ln(a)=0 , et pour trouver celles de N, je fais (0/a)-1+ln(a), et donc
M(a-aln(a);0) et N(0;ln(a)), sauf que cela devrait être  N(0;-ln(a))

Pouvez-vous m'aider?

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:09

bonjour,

OK pour l'équation de la tangente.

Pour N, quand x=0,  y =  -1 + ln(a)
dans tes réponses, je ne vois pas le -1 ??

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:25

A oui, merci. Si je rajoute le -1, les coordonnées sont bonnes ?

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:29

quelles sont alors les coordonnées de N pour toi ?
et pourquoi avais tu écrit : " sauf que cela devrait être  N(0;-ln(a))" ?
d'où vient le -ln(a) ?

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:39

Ba comme sur le graph, N est négatif, je ne comprenais pas pourquoi, l'ordonnée était positive

Tangente a la courbe de la fonction  ln au point d\'abscisse

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:39

Désolé, j'avais oublier de le joindre au message

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:41

ha d'accord, c'est toi qui croyait que ca devait etre -ln(a)...  

tu continues l'exercice ?

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:47

oui oui, je pense que l'aire de OMN= a-aln(a)*ln(a)*1/2

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:50

* OMN= (a-aln(a))*(-1+ln(a))*1/2

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 20:57

la question de ton énoncé est incomplète, mais je doute que tu sois arrivé là à ce que tu dois obtenir.....

OM =  a - aln(a)    OK     factorise !

ON =  ?
sachant que yN  est négatif, tu ne peux pas dire que la distance ON = yN
par exemple si yN= -2,  tu diras que la distance ON = 2, n'est ce pas ?

reprends..

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 21:03

J'ai réussi a prouver que l'aire de OMN etait = à 1/2f(x)
f(x)=x(1-ln(x))² et f'(x)=(ln(x)-1)(ln(x)+1)
Dans les questions précédentes, j'ai trouvé que l'extremum de f(x) était ateint en x=1/e, donc pour moi l'aire max est:
=1/e(1-ln(1/e))²*1/2
=1/e(1-2ln(1/e)+ln(1/e)²)*1/2
=1/e(1+2lne-2lne)*1/2
=1/e(1+2-2)*1/2
=1/e*1/2
Mon raisonnement est il bon ?
merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 21:14

aire OMN =  1/2 ( a (1 - ln(a) )² )   on est d'accord.

pour moi, la dérivée n'est pas égale à f'(x), telle que tu l'as écrite.

enfin, quand a= 1/e,   l'aire de OMN n'est pas maximale (si tu fais un dessin, ça se voit)..

mais je peux me tromper (je fais d'autres choses en même temps).
Refais ton calcul de dérivée, je vais en faire autant.
OK ?

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 21:20

Merci pour vos réponses rapides
je suis pratiquement sur que la dérivé est le bonne, car elle était noté dans une question

Tangente a la courbe de la fonction  ln au point d\'abscisse

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 21:22

je vous envoie l'exo complet, comme ca se sera plus facile

Tangente a la courbe de la fonction  ln au point d\'abscisse

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 21:43

oui, tu as raison sur la dérivée (j'avais fait une erreur de signe), et sur le maximum de (x) atteint pour x=1/e

si tu as déjà calculé le maximum de  (x) dans les questions précedentes, plus besoin de faire un calcul : le maximum de l'aire est juste la moitié.

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 21:54

D'accord, mais l'expression la plus simplifié est bien 1/e*1/2 ?

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 21:58

je dirais plutôt  : aire maximale =  2/e   (soit environ 0,74).

dans ton calcul, n'oublie pas que ln(1/e)  =  ln(1) - ln(e),
et ln(1)=0 ....

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 22:08

donc ca c'est faux?
=1/e(1-ln(1/e))²*1/2
=1/e(1-2ln(1/e)+ln(1/e)²)*1/2
=1/e(1+2lne-2lne)*1/2
=1/e(1+2-2)*1/2
=1/e*1/2

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 22:21

tu fais une erreur   quand tu passes de

=1/e(1-2ln(1/e)+ln(1/e)²)*1/2
à
=1/e(1+2lne-2lne)*1/2   tu as oublié un carré.

1  -  2ln(1/e)   +  (ln(1/e))²
= 1  -2 (ln(1)  -  ln(e))   +   (ln(1) - ln(e) )²  
= 1  +  2ln(e)   +   ln²(1)   -  2ln(1)ln(e)   +   ln²(e))
= 1   +   2            +  0           -  0                     + 1
= 4

ainsi au final  tu obtiens  (1/e) * (1/2) * 4 = 2/e
OK ?

*** message déplacé ***

Posté par
polapeyr
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 22:35

Merci infiniment, j'ai enfin compris.
bonne soirée

*** message déplacé ***

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 05-11-21 à 22:37

je t'en prie,
bonne fin de soirée à toi aussi.

*** message déplacé ***

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 07-11-21 à 15:59

Citation :
.     je fais (0/a) -1. +ln(a) ?  


Citation :
.      N(0;ln(a)), sauf que cela devrait etre  N(0;-ln(a))

Non

Il est passé où ton -1????

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 07-11-21 à 16:31

Et selon ton graphique
ln(a) est compris entre 0 et 1

Posté par
Leile
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 07-11-21 à 16:49

bonjour kenavo27,

polapeyr a reposté son sujet vendredi soir, sur lequel je suis intervenue.
Je n'avais pas vu que c'était un multi post, désolée.
(Lien cassé)

Posté par
malou Webmaster
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 07-11-21 à 16:57

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q30 - J'ai été averti ou banni, pourquoi, et que faire ?

Posté par
kenavo27
re : Tangente a la courbe de la fonction ln au point d'abscisse 07-11-21 à 17:00

Bonsoir Leile et malou
Je stoppe.
Et désolé aussi



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