tu montres facilement que MF'=MM' : triangle isocèle, la médiatrice de FM' passe par M

puis tu calcules d'un coté la pente de la tangente (facile) et de l'autre celle de cette médiatrice

et tu conclues

pardon : MF=MM'

Bonsoir
en suivant la piste de dhalte
encore un petit coup de pouce
|F'M'| = |F'M| + |MM'| = 2a et |F'M| + |MF| = 2a =>  |MM'| = |MF|
pente de la tangente en M(u;v) = -ub²/va²
il te reste la pente de la médiatrice qui est l'inverse et l'opposé de M'F
A+

et les parenthèses, geo3, c'est pour quoi faire ?

pente de la tangente : -ub²/(va²)

Je ne comprend pas comment trouver la pente de la médiatrice

Allez, encore une autre indication, que geo3 va s'empresser d'exploiter :
dans un triangle isocèle, la médiatrice est aussi bissectrice.
il te reste à calculer la pente des bissectrices

Le problème c'est que sans calculer les coordonnées de M',ce qui est trop compliqué, je ne vois pas comment trouver le coefficient directeur de la bissectrice de l'angle FMF'  

bof, les calculs restent assez compliqués quand même

rappels :
ellipse centrée à l'origine O, de demi-grand axe de longueur a sur x'Ox, de demi-petit axe de longueur b

équation


soit c positif tel que c²=a²-b², F(c,0), F'(-c,0) sont ses foyers et pour tout point M de l'ellipse, F'M+FM=2a

soit le cercle de centre F', de rayon 2a, appelé cercle directeur de l'ellipse

Soit M' le point de obtenu par intersection avec la demie-droite [F'M)
Alors comme le soulignait geo3, F'M+MM' = 2a : c'est le rayon du cercle
F'M+FM = 2a : propriété de l'ellipse

donc FM=MM' et le triangle MM'F est isocèle de sommet M

la médiatrice de [FM'] passe donc par le sommet de ce triangle isocèle;
reste à montrer que sa pente est égale à celle de la tangente. Pour cela, je me propose de calculer la pente de la droite (FM') perpendiculaire à cette médiatrice. Si le produit de la pente de la tangente et de celle de cette droite font -1, alors elles sont perpendiculaires et la tangente et la médiatrice sont parallèles, et puisqu'elles passent toutes deux par M, elles seront confondues.

un simple calcul différentiel montre que la pente de la tangente est (en dehors des sommets du grand axe, où la pente est infinie, mais la médiatrice est elle-même trivialement verticale)


Cherchons maintenant la pente p de (FM')

soit M(x,y) point de l'ellipse et M'(x',y') point du cercle directeur associé

(x,y) vérifie


(x',y') vérifie


pour calculer x', on peut faire la remarque suivante :
grâce à Thalès, nous avons


et on veut calculer la pente p qui est égale à

nous remarquons que

et   donc

le problème est symétrique par rapport à x'Ox, donc nous pouvons travailler avec y>0 et donc y'>0

calculons et


donc



donc


nous en déduisons


suite aux remarques sur les signes qui précèdent, nous établissons, pour x>c comme pour x<c


suite à la remarque sur le signe de y et y'


on remplace x'-c et x'+c par les quantités trouvées,on utilise abondamment et aussi











et voilà

OK, j'ai pu finir l'exercice
merci

Bonjour
-> dhalte
bravo à toi
sorry l'autre jour pour le manquement de parenthèses
hier j'avais essayé pour la pente de la médiatrice ( ou bissectrice) de la  chercher par les angles mais comme pour la bissectrice on devait avoir tan[(+)/2] connaissant tan() et tan() il me fallait tan(/2) en fonction de tan() ce qui rationnellement n'était pas possible
alors j'avais abandonné
J'allais chercher la pente de FM' mais voyant ta démonstration à mon avis je n'aurais pas trouvé dans un temps raisonnable.
Félicitations