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Tangente commune à deux courbes en deux points distincts
Bonsoir, alors voilà je suis depuis plus de 2 heures sur un exercice facultatif donné par mon professeur de mathématiques en terminale S. La question est la suivante: les courbes d'équations respectives y1=x^2 et y2=1/x admettent-elles des tangentes communes?
L'équation d'une tangente est: y= f'(a)(x-a) + f(a).
J'ai donc remplacé les valeurs f'(a) et f(a) par leurs valeurs. J'ai fait de même avec la deuxième courbe d'équation en remplaçant a par b puisque les tangentes n'ont pas les mêmes équations en un même point.
J'ai donc trouvé, après avoir développé: y1= -a^2 + 2ax et y2= -x/b^2 + 1/b.
J'ai par la suite de nombreux calculs sans pour autant débouché à un résultat bon (en vérifiant graphiquement et par le calcul). Je me suis par exemple que les deux équations devraient être égales donc y1=y2 donc -a^2 + 2ax=-x/b^2 + 1/b etc…
Finalement, j'ai trouvé sur un site ceci:
"C f et C g admettent une tangente commune si et seulement si il existe un nombre réel a de Df et un nombre réel b de Dg qui vérifient le système :
f '(a) = g '(b)
g(b)− f(a)= f '(a)×(b−a)".
Forcément, en remplaçant mes valeurs par la formule ci-dessus je trouvais a et b avec a=-2 et b=-0,5 ce qui correspond bien évidemment, puisque dans les deux cas l'équation est de la forme y= 4x -4.
Mais je voulais réussir à le trouver par moi-même enfait sans utiliser la formule "toute faîte" pour vraiment comprendre, et pour plus tard car je continuerai les mathématiques en post-bac. J'espère avoir été assez clair et que quelqu'un pourra m'aider. Merci beaucoup
Bonsoir,
je pense que tu as une erreur sur l'équation des tangentes à la courbe représentative de g(x)= 1/x
En effet une telle tangente a bien pour équation :
g'(b)(x-b) + g(b) en un pont d'abscisse b
g'(b)= 1/b²
donc la tangente a pour équation -1/b² (x - b ) + 1/b = -x/b² + 2/b
Du coup je ne suis pas allé plus loin dans la lecture de ton raisonnement ^^
une tangente courante en un point x=a à la première courbe a pour équation
y = f '(a)(x-a)+f(a)
de même une tangente à la seconde en un point x = b :
y = g '(b)(x-b)+g(b)
la tangente doit être commune donc ces deux équations doivent être les mêmes
les deux droites doivent donc avoir les même coefficients
et donc f '(a) = g'(b) et f(a)-af '(a) = g(b) - bg'(b) 
g(b)-f(a) = bg'(b)-af'(a) = f '(a)(b-a) (puisque g '(b) = f '(a) on remplace)
Après lecture de la suite, le théorème que tu utilises est facilement démontrable ! 
Si deux tangentes sont identiques, elles ont forcément la même pente, la pente d'une droite c'est le coefficient devant x
donc il faut que f'(a) = g'(b) ( eq 1)
puis tu veux
f'(a)(x-a) + f(a) = g'(b)(x-b) +g(b)
tu remplaces g'(b) par f'(a) (cf eq 1 !)
je te laisse finir le calcul 
Merci beaucoup, désolé de vous avoir dérangé… En fait, je suis resté "borné" dans mes calculs et je ne voyais même plus qu'il suffisait de remplacer… Merci beaucoup! Et pour répondre à votre premier message marco15, j'avais fait une erreur de frappe oui… Merci encore infiniment!
salut
avant de travailler avec l'équation complète de la tangente (et résoudre le système que tu proposes) j'aurais commencé par la condition nécessaire f'(a) = g'(b)
qui conduit à a = -1/b^2
et alors seulement je calcule l'équation des tangentes à chaque courbe :
pour la parabole au point d'abscisse -1/b^2 et pour l'hyperbole au point d'abscisse b
puis comparer ... pour obtenir b donc a ...
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