Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour résoudre l'exercice suivant:
On donne le point
et le cercle C d'équation :
On se propose de déterminer les droites passant par et tangentes à C.
L'équation générale d'une droite passant par est :
avec
Ensuite il faut montrer que :
Cette droite est tangente à C si et seulement si :
et je ne sais pas comment on arrive à cette équation...
J'ai essayé de trouver l'intersection du cercle avec la droite ;
mais j'aboutis à des calculs compliqués.
J'ai bien une piste :
C est un cercle donné de centre et de rayon R. On donne a priori une droite D d'équation
et on cherche une condition portant sur u,v,w pour exprimer que D est tangente à C.
D est tangente à C ssi . En explicitant , que l'on élève au carré, on trouve la condition équivalente :
Tu peux paramétrer la droite. Trouver les points d'intersection avec le cercle revient alors à résoudre une équation avec comme inconnue le paramètre ...
c'est une méthode ...
1 : sinon tu réduis ton équation de cercle
2 : tu arranges un peu ton équation de droite pour avoir (x-1/2) + (y+1) = .......
3 : tu remplaces (x-1/2) en fonction de (y+1) dans ton équation de cercle
4 : équation du second degré en (y+1) qui doit avoir une solution unique... donc discriminant nul et ça donne le résultat... je viens de le faire et ça prend 5 ligne quand on sait calculer
J'ai trouvé : il fallait remplacer x et y par les coordonnées de dans l'équation :
Ou alors identifier les coefficients u, v, w grâce à la relation :
on trouve alors , et
En suivant ta méthode, j'arrive à une équation d'inconnue X=y+1 de la forme
je me doute que j'ai dû faire une erreur...
Peux-tu vérifier?
À mon avis il y a un bug dans ton premier message. En suivant la méthode de paramétrisation (très facile à mettre en oeuvre), je trouve la condition
Pour commencer, n'aurais-tu pas confondu vecteur directeur et vecteur normal pour la droite ?
En utilisant la représentation paramétrique de la droite D, je trouve :
avec est un vecteur normal à D.
Mieux vaut ne pas changer de notation !
Avec une droite d'équation
et donc comme vecteur directeur, on arrive bien par la méthode de la paramétrisation à
ce qui est exactement la même chose que
obtenu en utilisant la distance du centre du cercle à la droite.
J'ai enfin réussi à trouver la solution avec la méthode de la représentation paramétrique de la droite D.
Cette méthode paramétrique marche par exemple quand on veut chercher les tangentes à une conique qui n'est pas un cercle passant par un point. Dans ce cas, on ne peut pas appliquer le truc de la distance du centre du cercle à une droite.
L'idée de matheuxmatou n'est pas autre chose que la méthode de paramétrisation. C'est juste qu'il paramétrise la droite par y+1.
:D
C'est toi qui l'as obtenue, cette équation :
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