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tangentes à un cercle passant par un point donné

Posté par
sgu35
16-05-20 à 16:41

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour résoudre l'exercice suivant:
On donne le point M_0(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})
et le cercle C d'équation : x^2+y^2-x+2y+1=0
On se propose de déterminer les droites passant par M_0 et tangentes à C.
L'équation générale  d'une droite passant par M_0 est :
\alpha(x+\frac{3}{2})+\beta(y-\frac{5}{2})=0
avec (\alpha, \beta)\ne (0,0)
Ensuite il faut montrer que :
Cette droite est tangente à C si et seulement si :
(2\alpha-\frac{7}{2}\beta)^2-\frac{1}{4}(\alpha^2+\beta^2)=0
et je ne sais pas comment on arrive à cette équation...

Posté par
matheuxmatou
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 16:45

bonjour

une droite est tangente à un cercle si l'intersection des deux est réduite à 1 point

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 16:56

J'ai essayé de trouver l'intersection du cercle avec la droite ;
x^2+y^2-x+2y+1=\alpha(x+\frac{3}{2})+\beta(y-\frac{5}{2})
mais j'aboutis à des calculs compliqués.

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:06

J'ai bien une piste :
C est un cercle donné de centre \Omega et de rayon R. On donne a priori une droite D d'équation ux+vy+w=0
et on cherche une condition portant sur u,v,w pour exprimer que D est tangente à C.
D est tangente à C ssi d(\Omega,D)=R. En explicitant d(\Omega,D), que l'on élève au carré, on trouve la condition équivalente :
(ua+vb+w)^2-R^2(u^2+v^2)=0

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:08

Tu peux paramétrer la droite. Trouver les points d'intersection avec le cercle revient alors à résoudre une équation avec comme inconnue le paramètre ...

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:10

Mais ton idée te mènera aussi au résultat, si tu l'exploites bien.

Posté par
matheuxmatou
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:19

c'est une méthode ...

1 : sinon tu réduis ton équation de cercle
2 : tu arranges un peu ton équation de droite pour avoir (x-1/2) + (y+1) = .......
3 : tu remplaces (x-1/2) en fonction de (y+1) dans ton équation de cercle
4 : équation du second degré en (y+1) qui doit avoir une solution unique... donc discriminant nul et ça donne le résultat... je viens de le faire et ça prend 5 ligne quand on sait calculer

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:31

J'ai trouvé : il fallait remplacer x et y par les coordonnées de \Omega dans l'équation :
\alpha(x+\frac{3}{2})+\beta(y-\frac{5}{2})=0
Ou alors identifier les coefficients u, v, w grâce à la relation :
ux+vy+w=\alpha(x+\frac{3}{2})+\beta(y-\frac{5}{2})
on trouve alors u=\alpha, v=\beta et w=\frac{3}{2} \alpha -\frac{5}{2} \beta

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:40

Bonjour matheuxmatou,
quand tu parles de réduire l'équation du cercle, s'agit-il de la factoriser?

Posté par
matheuxmatou
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:42

laisse tomber, la méthode avec la distance du centre à la droite est plus simple

Posté par
matheuxmatou
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 17:43

de toutes façons, pour trouver le centre tu as réduit l'équation !

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 18:36

En suivant ta méthode, j'arrive à une équation d'inconnue X=y+1 de la forme
25 X^2-15X-333/4=0
je me doute que j'ai dû faire une erreur...
Peux-tu vérifier?

Posté par
matheuxmatou
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 18:51

où sont passés les alpha et béta ?

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 19:07

Finalement je me retrouve avec :
25 X^2-15X+9/4=0

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 16-05-20 à 19:26

À mon avis il y a un bug dans ton premier message. En suivant la méthode de paramétrisation (très facile à mettre en oeuvre), je trouve la condition
(7\alpha+4\beta)^2 =64 (\alpha^2+\beta^2)
Pour commencer, n'aurais-tu pas confondu vecteur directeur et vecteur normal pour la droite ?

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 14:47

en prenant x_0=1/2 et y_0=-1,
on obtient (\alpha (1/2+3/2)+\beta(-1-5/2))^2=R^2(\alpha^2+\beta^2)
soit (2\alpha-7/2 \beta)^2-1/4(\alpha^2+\beta^2)=0

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 15:08

Au temps pour moi, c'est en fait bien la même condition qu'on trouve par les deux méthodes.

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 18:07

En utilisant la représentation paramétrique de la droite D, je trouve :
(-4\alpha+7\beta)^2=64(\alpha^2+\beta^2)
avec\vec(u)=(\alpha,\beta) est un vecteur normal à D.

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 18:09

pardon, il s'agit d'un vecteur directeur de D

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 18:41

Mieux vaut ne pas changer de notation !

Avec une droite d'équation
\large \alpha\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+\beta\left(y-\dfrac{5}{2}\right)=0
et donc (\beta, -\alpha) comme vecteur directeur, on arrive bien par la méthode de la paramétrisation à
\large (7\alpha+4\beta)^2 = 64(\alpha^2+\beta^2)
ce qui est exactement la même chose que
\large (4\alpha-7\beta)^2=\alpha^2+\beta^2
obtenu en utilisant la distance du centre du cercle à la droite.

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 18:41

J'ai enfin réussi à trouver la solution avec la méthode de la représentation paramétrique de la droite D.

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 19:00

Cette méthode paramétrique marche par exemple quand on veut chercher les tangentes à une conique qui n'est pas un cercle passant par un point. Dans ce cas, on ne peut pas appliquer le truc de la distance du centre du cercle à une droite.

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 19:02

Et j'ai aussi trouvé la réponse avec l'idée de matheuxmatou.

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 19:07

Citation :
25 X^2-15X+9/4=0

En fait, on ne se sert pas de cette équation, car on arrive avec deux solutions pour le coule (\alpha,\beta) et l'on peut choisir \alpha ou \beta comme on veut (l'un ou l'autre) et remplacer \alpha et \beta dans l'équation de la droite D.

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 19:12

L'idée de matheuxmatou n'est pas autre chose que la méthode de paramétrisation. C'est juste qu'il paramétrise la droite par y+1.

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 19:48

Citation :
Avec une droite d'équation
\large \alpha\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+\beta\left(y-\dfrac{5}{2}\right)=0
et donc (\beta, -\alpha) comme vecteur directeur, on arrive bien par la méthode de la paramétrisation à
\large (7\alpha+4\beta)^2 = 64(\alpha^2+\beta^2)
ce qui est exactement la même chose que
\large (4\alpha-7\beta)^2=\alpha^2+\beta^2
obtenu en utilisant la distance du centre du cercle à la droite.


Ce n'est pas plutôt \large (4\alpha-7\beta)^2=64(\alpha^2+\beta^2) ?

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 20:56

Citation :
Avec une droite d'équation
\large \alpha\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+\beta\left(y-\dfrac{5}{2}\right)=0
et donc (\beta, -\alpha) comme vecteur directeur, on arrive bien par la méthode de la paramétrisation à
\large (7\alpha+4\beta)^2 = 64(\alpha^2+\beta^2)
ce qui est exactement la même chose que
\large (4\alpha-7\beta)^2=\alpha^2+\beta^2
obtenu en utilisant la distance du centre du cercle à la droite.


Comment obtiens-tu la dernière équation?

Posté par
GBZM
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 17-05-20 à 23:14

:D

C'est toi qui l'as obtenue, cette équation :

sgu35 @ 17-05-2020 à 14:47

...
(2\alpha-7/2 \beta)^2-1/4(\alpha^2+\beta^2)=0

Tu multiplies par 4, que trouves-tu ?

Posté par
sgu35
re : tangentes à un cercle passant par un point donné 21-05-20 à 20:43

En effet ça revient au même.
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