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Tangentes en un point d'abscisse x.

Posté par
matheux14 22-01-21 à 16:48

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la fonction définie sur IR\{0 ;2} par f(x)=\dfrac{1-|1-x|}{x²-2x}.

1) Étudier la dérivabilité de f en 1 puis interpréter graphiquement les résultats.

2) Tracer les démi tangentes à (Cf) la courbe représentative de f au point d'abscisse 1.

Réponses

\forall x \in \R \setminus \{0 ;2\} , f(x)=\dfrac{1-|1-x|}{x²-2x}.

\begin{cases} f(x)=\dfrac{2-x}{x²-2x} \text{si} ~ x > 1\\ f(x)=\dfrac{-x}{x²+2x} \text{si} x<1\end{cases}.

1) * Calcul de f'd(1).

. f(1)=-1

. f'_{d}(1)=\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\dfrac{\dfrac{2-x}{x²-2x}+1}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{\dfrac{2-x+x²-2x}{x²-2x}}{x-1}

\lim_{x\to1}\dfrac{\dfrac{x²-3x+2}{x²-2x}}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{x²-3x+2}{x²-2x}×\dfrac{1}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x-2)}{x²-2x}×\dfrac{1}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{x²-2x}=\dfrac{1-2}{1²-2}=1

f'_{d}(1)=1.

* Calcul de f'g(1).

.f(1)=-1/3

. f'_{g}(1)=\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{\dfrac{-1}{x+2}+\dfrac{1}{3}}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{\dfrac{-3+x+2}{3x+6}}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{x-1}{3x+6}×\dfrac{1}{x-1}

=\lim_{x\to1}\dfrac{1}{3x+6}=\dfrac{1}{3}

f'_{g}(1)=\dfrac{1}{3}

f'd(1) ≠ f'g(1) donc f n'est pas dérivable en 1.

(Cf) admet donc au point d'abscisse 1 deux demi tangentes de coefficients directeurs 1 et 1/3.

2) Je  n'y arrive pas

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 17:06

Bonsoir,
L'expression de f(x) est fausse pour x < 1.

Ne pas écrire \; f'd(1) \; avant d'avoir démontré que f est dérivable à droite de 1.
Ne pas écrire de limite avant d'avoir démontré son existence.

Transformer \; \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \; jusqu'à ce qu'il soit possible de conclure pour la limite à droite de 1.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 17:07

Transformer \; \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} \; pour \; x> 1 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 17:09

Tu as écrit f(1)=-1 puis, plus loin, f(1)=-1/3.
Bizarre, non ?

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 17:27

\begin{cases} f(x)=\dfrac{2-x}{x²-2x} ~ \text{si} ~ x > 1\\ f(x)=\dfrac{1}{x+2} ~\text{si}~ x<1\end{cases}.

Posté par
matheuxmatoure : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 17:30

bonjour

ton expression pour x<1 n'est valable que pour x0 (sinon f n'est pas définie)

et celle pour x>1 se simplifie aussi, mais seulement pour x2

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 17:40

\begin{cases} f(x)=\dfrac{-1}{x}~ \text{si} ~ x\in ]1 ; 2[ \cup ]2 ;+\infty[ \\ f(x)=\dfrac{1}{x+2} ~\text{si}~ x\in]-\infty;0[\cup]0;1[\end{cases}

Posté par
matheuxmatoure : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 17:50

mieux, expression toujours fausse pour x<1

et pour x=1 c'est pas défini ? il va bien falloir l'intégrer à un des deux morceaux...

d'où sort ce "+" au dénominateur... ???? relis l'énoncé

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 18:00

matheux14 @ 22-01-2021 à 17:40

\begin{cases} f(x)=\dfrac{-1}{x}~ \text{si} ~ x\in ]1 ; 2[ \cup ]2 ;+\infty[ \\ f(x)=\dfrac{1}{x-2} ~\text{si}~ x\in]-\infty;0[\cup]0;1[\end{cases}

Posté par
matheuxmatoure : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 18:02

c'est mieux !

et en 1 elle n'est pas définie ?

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 18:33

\begin{cases} f(x)=\dfrac{-1}{x}~ \text{si} ~ x\in ]1 ; 2[ \cup ]2 ;+\infty[ \\ f(x)=\dfrac{1}{x-2} ~\text{si}~ x\in]-\infty;0[\cup]0;1]\end{cases}

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 23:18

Je fais comment pour la deuxième question ?

Posté par
matheuxmatoure : Tangentes en un point d'abscisse x. 22-01-21 à 23:35

détermine déjà les dérivées à gauche et à droite en 1 (si elles existent)

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 08:38

À gauche f'(1)=-1 et à droite f'(1)=-1.

f n'est pas dérivable en 1.

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 08:40

À droite c'est plutôt f'(1)=1.

Posté par
matheuxmatoure : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 09:38

oui... mets des indices pour les dérivées

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 10:28

Ok f'd(1)= 1 et f'g=-1.

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 14:33

Posté par
matheuxmatoure : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 16:37

oui... et ?

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 17:57

(Cf) admet donc au point d'abscisse 1 deux demi tangentes de coefficients directeurs 1 et -1.

Comment faire pour tracer ces deux droites ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 18:17

Tu es en terminale et tu ne sais pas construire une droite qui passe par un point connu et de coefficient directeur 1 ou -1 ?

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 19:27

Bien sûr que oui  

Désolé ..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 19:30

Posté par
matheux14re : Tangentes en un point d'abscisse x. 23-01-21 à 19:54

Merci et bonne soirée


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