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Temps d'éffet d'un médicament.

Posté par
matheux14
24-02-21 à 07:09

Bonjour ,

Merci d'avance.


On injecte toutes les 8 heures dans le sang d'un malade
une quantité q0 , de sérum, exprimée en cm³.

Après élimination naturelle, la quantité restante de ce
sérum au bout d'un temps t , exprimé en heure, est donnée
par la fonction t\mapsto q_{0}~ \large{e}^{-\frac{t}{24}}

1. Calculer, en fonction de q0, la quantité restante de
sérum dans le sang après 8 heures, 16 heures, 24
heures.

2. Soit q la fonction qui à t associe la quantité totale de
sérum contenue dans le sang au bout de ce temps t.


a) Exprimer q(t) en fonction de q0 , et t pour t  ∈ [0 ; 48].
Dans la suite, on suppose que : q0= 1 cm³.

b) Représenter graphiquement la fonction dans l'intervalle [0 ; 48].

3. Le sérum n'est efficace que si le sang en contient en
permanence une quantité au moins égale à 2 cm³.

Déterminer graphiquement, puis calculer l'instant à
partir duquel le sérum sera efficace.

4-a) Déterminer , en fonction de n , la quantité de matière de sérum contenue dans le sang immédiatement après la n-ième injection.

b) La quantité de sérum contenue dans le sang ne doit pas dépasser 3,6 cm³.

Démontrer que malgré cette restriction , on peut continuer indéfiniment les injections.

Réponses

1) On a f(t)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{t}{24}}

* Après 8 h , t= 8

f(8)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{8}{24}}=q_{0}~\large{e}^{-\frac{1}{3}}

* Après 16 h , t= 16

f(16)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{16}{24}}=q_{0}~\large{e}^{-\frac{2}{3}}

* Après 24 h , t= 24

f(24)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{24}{24}}=q_{0}~\dfrac{1}{\large{e}}{

2-a) Du coup là je pense à la dérivée et le signe de la dérivée sur [0 ; 48].

Posté par
carita
re : Temps d'éffet d'un médicament. 24-02-21 à 09:15

bonjour

es-tu bien sûr de l'expression de la fonction ?
parce que q(t) est toujours inférieur ou égal à 1 sur l'intervalle [0;48] (pour q0=1)

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 24-02-21 à 11:19

Bonjour à tous les deux ,
@carita
matheux14 a oublié qu'une dose q0 est injectée toutes les 8 heures dans le sang du malade .

Posté par
carita
re : Temps d'éffet d'un médicament. 24-02-21 à 11:42

bonjour PLSVU
... merci pour ta vigilance !
il n'y a pas que matheux14 qui l'avait oublié  

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 24-02-21 à 16:20

1) On a f(t)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{t}{24}}

* Après 8 h , t= 8

f(8)= (q_{0}+q_{0})~ \large{e}^{-\frac{8}{24}}=2q_{0}~\large{e}^{-\frac{1}{3}}

* Après 16 h , t= 16

f(16)=(2 q_{0}+q_{0})~ \large{e}^{-\frac{16}{24}}=3q_{0}~\large{e}^{-\frac{2}{3}}

* Après 24 h , t= 24

f(24)=(3 q_{0}+q_{0})~ \large{e}^{-\frac{24}{24}}=4q_{0}~\dfrac{1}{\large{e}}

Posté par
carita
re : Temps d'éffet d'un médicament. 24-02-21 à 16:35

d'après ce que tu écris, à t=8, le patient a reçu la seconde injection, d'où la somme.
mais il me semble que le calcul n'est pas correct.

en effet, la première injection a une durée de 8h, mais pas la seconde (qui vient juste d'être pratiquée)...

par ailleurs, peut-être ai-je mal compris, mais il me semble que l'énoncé n'est pas très clair : f(8), c'est la qté de sérum au terme de la 1ère, ou bien au tout début de la seconde ?

Posté par
carita
re : Temps d'éffet d'un médicament. 24-02-21 à 16:50

1. Calculer, en fonction de q0, la quantité restante de sérum dans le sang après 8 heures, 16 heures, 24 heures.

la quantité restante me ferait pencher vers la quantité restante au terme de la seule 1ère injection, soit seulement f(8).

---

pour t=16
1ère injection (pratiquée à t=0)  : il y a 16 h qu'elle est dans le sang, donc f(16)
2ème injection (pratiquée à t=8)  : il y a 16-8 = 8 h qu'elle est dans le sang, donc f(8)

la quantité restante au terme de 16h est donc f(16)+f(8)

je ne suis pas sûre de tout cela : j'ai fait l'exercice (tel que je l'ai compris),
mais l'ordre des questions 2a) et 4a) s'entrechoquent...
et je passe par la fonction partie entière pour établir q(t) avec t 'quelconque' (??)

et pour la question 3 ...puis calculer l'instant à partir duquel le sérum sera efficace.
je ne vois pas comment résoudre l'inéquation q(t)>=2.

bref, si quelqu'un a une idée...

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 24-02-21 à 22:22

Bonsoir à vous deux
q(0)=q_0e^{-0/24} =q_0

q(8)=q_{0}e^{-8/24}+q_{0}e^{-(8-8)}=q_{0}(e^{-1/3}+1)
 \\
aperçu  pour 4 injections
q_0=1
pour 0≤t≤8
q(t)=e^(-t/24)
pour 8≤t≤16
q(t)=e^(-t/24)+e^(-(t-8)/24)
...

Temps d\'éffet d\'un médicament.

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 05:58

Bonjour

Mais j'essaie toujours de comprendre

Posté par
carpediem
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 08:41

salut

n'y aurait-il pas un pb avec la question 4b/ alors ?

je pose f(t) = e^{-t/24}

je l'aurai vu ainsi :

sur l'intervalle [0, 8[  : q(t) = qe^{-t/24} = qf(t)

sur l'intervalle [8, 16[  :  q(t) = [q + q(8)]e^{-(t - 8)/24) = [q + q(8)] f(t - 8)

sur l'intervalle [16, 24[  : q(t) = [q + q(16)]f(t - 16)

sur l'intervalle [24, 32[  :  q(t) = [q + q(24)] f(t - 24)

...

Posté par
carpediem
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 08:42

carpediem @ 25-02-2021 à 08:41

salut

n'y aurait-il pas un pb avec la question 4b/ alors ?

je pose f(t) = e^{-t/24}  et q = q(0) = q_0

je l'aurai vu ainsi :

sur l'intervalle [0, 8[  : q(t) = qe^{-t/24} = qf(t)

sur l'intervalle [8, 16[  :  q(t) = [q + q(8)]e^{-(t - 8)/24} = [q + q(8)] f(t - 8)

sur l'intervalle [16, 24[  : q(t) = [q + q(16)]f(t - 16)

sur l'intervalle [24, 32[  :  q(t) = [q + q(24)] f(t - 24)

...

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 09:17

Après élimination naturelle, la quantité restante de ce
sérum au bout d'un temps t , exprimé en heure, est donnée
par la fonction t  \mapsto q_{0}{e}^{-\frac{t}{24}}
   1ère injection   t=0   quantité de sérum restante  q_{1}(0)=q_0*e^{\frac{-0}{24}}=q_0
     pour t=8  quantité de sérum restante  q_{1}(8)=q_0e^{\frac{8}{24}}=q_0e^{\frac{-1}{3}}
     pour t=8  2ème injection  q_{2}(8)=q_0e^{\frac{-(8-8)}{24}}=q_0
quantité  de sérum q_2=q_0e^{\frac{-1}{3}}+q_0
tu peux    faire un tableau avec excel
un début...
t 1ere injection 2eme injection
0 1
1 0,959189457
2 0,920044415
3 0,882496903
4 0,846481725
5 0,811936346
6 0,778800783
7 0,7470175
8 0,716531311 1,716531311
9 0,687289279 1,646478736
10 0,65924063 1,579285045
11 0,632336662 1,514833565
12 0,60653066 1,453012385

je corrige mes erreurs de frappe du précédent message
aperçu  pour 4 injections
q_0=1
pour 0≤t≤8

q(t)=e^{\frac{t}{24}

pour 8≤t≤16
q(t)=e^{\frac{t}{24}}+e^{\frac{-(t-8)}{24}}


je viens de lire voir le message de carpediem; que je salue
vu le temps que j'ai mis à taper je poste....

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 09:56

Citation :
n'y aurait-il pas un pb avec la question 4b/ alors ?

4b)    pas de pb car la limite de  de la réponse  de la 4a<3,6

Posté par
carita
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 10:07

bonjour à tous !
merci d'avoir pris le relais.

PLSVU tes réponses rejoignent ce que j'avais fait;
je me suis juste bien compliqué les choses en modélisant une seule expression pour q(t) sur [0;48] (suite géométrique)
pourquoi faire simple... :/

je quitte le topic,
bonne journée à tous

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 20:01

Citation :
1ère injection   t=0   quantité de sérum restante  q_{1}(0)=q_0*e^{\frac{-0}{24}}=q_0
     pour t=8  quantité de sérum restante  q_{1}(8)=q_0e^{\frac{8}{24}}=q_0e^{\frac{-1}{3}}
     pour t=8  2ème injection  q_{2}(8)=q_0e^{\frac{-(8-8)}{24}}=q_0
quantité  de sérum q_2=q_0e^{\frac{-1}{3}}+q_0
tu peux    faire un tableau avec excel
un début...
t 1ere injection 2eme injection
0 1
1 0,959189457
2 0,920044415
3 0,882496903
4 0,846481725
5 0,811936346
6 0,778800783
7 0,7470175
8 0,716531311 1,716531311
9 0,687289279 1,646478736
10 0,65924063 1,579285045
11 0,632336662 1,514833565
12 0,60653066 1,453012385

je corrige mes erreurs de frappe du précédent message
aperçu  pour 4 injections
q_0=1
pour 0≤t≤8

q(t)=e^{\frac{t}{24}

pour 8≤t≤16
q(t)=e^{\frac{t}{24}}+e^{\frac{-(t-8)}{24}}


Quel  lien avec votre message de  24-02-21 à 22:22.


1) On a f(t)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{t}{24}}

* À t= 0 on a :

f(0)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{0}{24}}=q_{0}

* Après 8 h , t= 8

f(8)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{8}{24}}=q_{0}~\large{e}^{-\frac{1}{3}}+q_{0}

* Après 16 h , t= 16

f(16)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{16}{24}}=q_{0}~\large{e}^{-\dfrac{2}{3}}+2q_{0}

* Après 24 h , t= 24

f(24)= q_{0}~ \large{e}^{-\frac{24}{24}}=q_{0}~\large{e}^{-1}+3q_{0}

Non ?

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 20:41

les quantités de sérum restantes   je  les note   q (t)
et la fonction  donnée  par f(t)=q0e(-t/24)
t=0  q(0)=q0   OK pour ta réponse
pour t= 8
q(8)=  quantité restante de la première injection au bout de 8 minutes + la seconde injection=
f(8) + q0=q0e(-1/3) +q0  OK
pour t=16 et t=24  ( tes réponses sont  fausses)
car  
q(16)=quantité restante de la première injection au bout de16 minutes +quantité restante de la seconde  injection au bout de 8 minutes+ la troisième  injection=
que propose-tu ?

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 20:51

Citation :
q(16)=quantité restante de la première injection au bout de16 minutes +quantité restante de la seconde  injection au bout de 8 minutes+ la troisième  injection=
que propose-tu ?


minutes ?

C'est ce que j'essaie de comprendre ..

Pourquoi on ne calcule pas q(16) et q(24) de la même façon que q(0) et q(8) ?

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 21:06

à t=0  le patient a reçu la  première  injection
à t=8 le patient a reçu la deuxième injection
à t=16  le patient a reçu la troisième injection
la quantité restante varie suivant la fonction f(t)=q0e-t/24
qui dépend de la durée...

il faut donc calculer la  quantité restante pour chaque injection ...


Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 22:10

Citation :
à t=16  le patient a reçu la troisième injection
la quantité restante varie suivant la fonction f(t)=q0e-t/24
qui dépend de la durée...

il faut donc calculer la  quantité restante pour chaque injection ...


Je ne comprends pas pourquoi..

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 25-02-21 à 22:29

La quantité de sérum  restante  dépend de la durée pour chaque injection
1ere injection
t=0   f(0)=q0

au bout de 8 minutes il reste  f(8)=q0e^(-8/24)=q0e^(-1/3)
au bout de 16 minutes il reste  f(16)=q0e^(-16/24)=q0
e^(-2/3)

la seconde injection    
t=0   q=0  

t=8  q=q0
8 minutes  après , c'est  à dire quand  t=16    il reste f(16-8)=f(8)=q0e^(-1/3)
mais à l'instant t=16  on pratique la 3ème injection q0

  d'où q(16)==q0e^(-2/3)+q0e^(-1/3)+q0

calcule q(24)

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 26-02-21 à 01:54

q(24)=q_{0}e^{-2/3)}+q_{0}e^{-1/3}+2q_{0}

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 26-02-21 à 06:52

c'est  faux
il faut calculer la quantité de sérum restante  pour chaque injection      puis sommer , pour t=24  ,la somme  a   4 termes différents

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 26-02-21 à 20:22

C'est ce que je n'arrive pas à comprendre..

Pourquoi ne pas faire les mêmes que pour t= 0 et t=8 ?

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 26-02-21 à 21:06

On injecte toutes les 8 heures dans le sang d'un malade
une quantité q0 , de sérum, exprimée en cm³.

il faut donc calculer la quantité de sérum restante pour chaque injection
en fonction de la durée  qui est différente pour chaque  injection à l'instant t
,
ce n'est plus des math mais du bon sens  exemple pour le  paracétamol: 1g toutes les 6 heures et  non 4 g en une seule prise   ....pour éviter les  surdosages   et pour maintenir le bon dosage...

   au bout de 48 heures , la quantité restante de sérum de la première injection  n'est pas nulle  lq_1(48)=q0e-20,168q0

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 27-02-21 à 12:40

  Calculer, en fonction de q0, la quantité restante de sérum dans le sang après 8 heures, 16 heures, 24heures.
tu peux d'aider de ce tableau à  compléter..

t en heure081624
quantité de sérum restante  de la 1ère infection à l'instant tq0f(8)=q0e^(-8/24)=q0e^(-1/3)f(16)=q0e^(-16/24)=q0e^{-2/3)f(24) =   .....
quantité de sérum restante  de la 2ème infection à l'instant t0f(8-8)= f(0)= q0f(16-8)= f(8)= q0e^(-1/3)f(24-8)= f(16)= q0e^(-2/3)
quantité de sérum restante  de la 3ème infection à l'instant t00f(16-16)=f(0)=q0...
quantité de sérum restante  de la 4ème infection à l'instant t...................
quantité de serum restante dans le sangq0q0e^(-1/3)+q0q0e^(-2/3)+q0e^(-1/3)+q0.........

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 27-02-21 à 21:47

Bonsoir

t en heure081624
quantité de sérum restante  de la 1ère infection à l'instant tq0f(8)=q0e^(-8/24)=q0e^(-1/3)f(16)=q0e^(-16/24)=q0e^(-2/3)f(24) = q0e^(-24/24)=q0e
quantité de sérum restante  de la 2ème infection à l'instant t0f(8-8)= f(0)= q0f(16-8)= f(8)= q0e^(-1/3)f(24-8)= f(16)= q0e^(-2/3)
quantité de sérum restante  de la 3ème infection à l'instant t0f(8-16)=f(-8)=q0e^(1/3)f(16-16)=f(0)=q0f(24-16)=f(8)=q0e^(-1/3)
quantité de sérum restante  de la 4ème infection à l'instant t0f(8-24)=f(-16)=q0e^(2/3)f(16-24)=f(-8)=q0e^(1/3)f(24-24)=f(0)=q0
quantité de serum restante dans le sangq0q0e^(-1/3)+q0q0e^(-2/3)+q0e^(-1/3)+q0q0e+q0e^(-2/3)+q0^(-1/3)+q0

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 27-02-21 à 22:11

c'est bon

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 27-02-21 à 22:39

a) Exprimer q(t) en fonction de q0 , et t pour t  ∈ [0 ; 48].
en remarquant que q0f(0)=q0e^0=......
quantité de serum restante  de la premiere injection    pour  0≤t≤48
q(t)=q0f(t)=q0e^(t/24)
quantité de serum restante  de la seconde  injection    pour  8≤t≤48
q( t)=q0f(t-8)
tu continues
et tu sommes pour les 7 injections
.

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 27-02-21 à 22:46

oups le signe -  
quantité de serum restante  de la premiere injection    pour  0≤t≤48
q(t)=q0f(t)=q0e^(-t/24)

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 07:06

Bonjour ,

2.

a) Exprimer q(t) en fonction de q0 , et t pour t  ∈ [0 ; 48].
Dans la suite, on suppose que : q0= 1 cm³.


La quantité de serum restante  de la 1ère injection  est : q_{0}f(0)=q0e^{0}=q_{0}


*Pour  0~\le ~t~\le~48,

q(t)=q_{0}f(t)=q_{0}e^{-t/24} quantité de sérum restante  de la 2e  injection.

*Pour  8~\le~t~\le~48 ,

q(t)=q_{0}f(t-8) quantité de sérum restante  de la 3e  injection.

*Pour  16~\le~t~\le~48 ,

q(t)=q_{0}f(t-16) quantité de sérum restante  de la 4e  injection.

*Pour  24~\le~t~\le~48 ,

q(t)=q_{0}f(t-24) quantité de sérum restante  de la 5e injection.

*Pour  32~\le~t~\le~48 ,

q(t)=q_{0}f(t-32) quantité de sérum restante  de la 6e  injection.

*Pour  40~\le~t~\le~48 ,

q(t)=q_{0}f(t-40) quantité de sérum restante  de la 7e  injection.

*Pour  48~\le~t~\le~48 ,

q(t)=q_{0}f(t-48) quantité de sérum restante  de la 8e injection.

Par conséquent \forall t \in [0 ; 48] et q_{0}=1 ~ cm³ ,

q(t)=q_{0}+q_{0}e^{-t/24}+q_{0}f(t-8)+q_{0}f(t-16)+q_{0}f(t-24)+q_{0}f(t-32)+q_{0}f(t-40)+q_{0}f(t-48)

\large{q(t)=1+e^{-t/24}+e^{(-t+8)/24}+e^{(-t+16)/24}+e^{(-t+24)/24}+e^{(-t+32)/24}+e^{(-t+40)/24}+e^{(-t+48)/24}}

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 12:22

Il faut sommer dès que l'on pratique une autre injection (comme pour le tableau ....)
0≤t≤8
q(t)=q0f(t)=q0e^(-t/24)
8≤t≤16
q0e^(-t/24)+q0e^(-t+8)/24

    pour la representation graphique , il faut construire la courbe de chaque fonction  sur
chaque intervalle, l'ensemble sur [0;48]n'est pas une fonction puisque pour  tout   multiple de 8 , non nul, il y a deux images...
  voir image de mon post 4-02-21 à 22:22
  

Posté par
carpediem
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 13:01

disons qu'on peut considérer la fonction définie sur les intervalle [8k, 8(k + 1)[ ... f(8(k + 1)) = 8 + \lim_{t \to 8(k + 1)  et  t < 8(k + 1)} f(t)

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 15:20

2-b) Je vois.

3-) Temps d\'éffet d\'un médicament.

* \forall t \in [0 ; 8] , q(t)=e^{-t/24}

q(t)=2 \iff e^{-t/24}=2

\iff e^{-t/24}=e^{\ln2}

\iff -\dfrac{t}{24}=\ln2

\iff t= -24\ln2

Donc S_{[0~ ; ~ 8]}=∅ car -24 ln2 < 0.

* \forall t \in [8 ; 16] , q(t)=e^{(-t+8)/24}

q(t)=2 \iff e^{(-t+8)/24}=2

\iff e^{(-t+8)/24}=e^{\ln2}

\iff \dfrac{-t+8}{24}=\ln2

\iff t=8 -24\ln2

Donc S_{[8~ ; ~ 16]=∅ car 8-24 ln2 < 0.

* \forall t \in [16 ; 24] , q(t)=e^{(-t+16)/24}

q(t)=2 \iff e^{(-t+16)/24}=2

\iff e^{(-t+16)/24}=e^{\ln2}

\iff \dfrac{-t+16}{24}=\ln2

\iff t=16 -24\ln2

Donc S_{[16~ ; ~ 24]}=∅ car 16-24 ln2 < 0.


* \forall t \in [24 ; 32] , q(t)=e^{(-t+24)/24}

q(t)=2 \iff e^{(-t+24)/24}=2

\iff e^{(-t+24)/24}=e^{\ln2}

\iff \dfrac{-t+24}{24}=\ln2

\iff t=24 -24\ln2

Donc S_{[24~ ; ~ 32]}=∅ car 24-24\ln2 \notin [24~ ; ~ 32]

En porte-à-faux S_{[0 ; 48]}=\{24(1-\ln2\} car 24(1-\ln2) \in [0 ;8]


* \forall t \in [32 ; 40] , q(t)=e^{(-t+32)/24}

q(t)=2 \iff e^{(-t+32)/24}=2

\iff e^{(-t+32)/24}=e^{\ln2}

\iff \dfrac{-t+32}{24}=\ln2

\iff t=32 -24\ln2

Donc S_{[32~ ; ~ 40]=∅ car 32-24 ln2 \notin [32 ; 40]

En porte-à-faux  S_{[0 ; 48]}=\{32-24\ln2\} car 32-24\ln2 \in [0 ;16]


* \forall t \in [40 ; 48] , q(t)=e^{(-t+40)/24}

q(t)=2 \iff e^{(-t+40)/24}=2

\iff e^{(-t+40)/24}=e^{\ln2}

\iff \dfrac{-t+40}{24}=\ln2

\iff t=40 -24\ln2

Donc S_{[40~ ; ~ 48]=∅ car 32-24 ln2 \notin [32 ; 40]

En porte-à-faux  S_{[0 ; 48]}=\{40-24\ln2\} car 40-24\ln2 \in [0 ;24]


* \forall t \in [48 ; +\infty[ , q(t)=e^{(-t+48)/24}

q(t)=2 \iff e^{(-t+48)/24}=2

\iff e^{(-t+48)/24}=e^{\ln2}

\iff \dfrac{-t+48}{24}=\ln2

\iff t=48 -24\ln2

Donc S_{[48~ ; ~ +\infty]=∅ car 48-24 ln2 \notin [40 ; +\infty[

En porte-à-faux  S_{[48 ; +\infty[}=\{48-24\ln2\} car 48-24\ln2 \in [0 ;32]


Par conséquent S_{[0 ; 48]}=\{24-24\ln2 ; 32-24\ln2 ; 40-24\ln2  ;48-24\ln2\}


Donc le sérum sera efficace \forall t\in [0 ; 48] à partir de t= 24(1-ln2) ≈ 7,36.

C'est à dire à environ 7h 36 min.

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 16:22

  la fonction   f  ,qui au nombre  t exprimé en heure associe   le nombre f(t) =q_0 e^(-t/24) exprimé en cm3
est  décroissante    
pour q0=1  
f(0)=1  
f(7)<1

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 17:00

J'ai mal compris peut être ?


* {\green{\forall t \in [24 ; 32] , q(t)=e^{(-t+24)/24}}}

q(t)=2 \iff e^{(-t+24)/24}=2

\iff e^{(-t+24)/24}=e^{\ln2}

\iff \dfrac{-t+24}{24}=\ln2

\iff t=24 -24\ln2 > 0

f(t) est une fonction obtenue par raccordement..

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 17:44

q(32)  avant injection <2

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 17:47

Je ne voiss pas ce que vous essayez de me faire comprendre..

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 18:01

tu essaies de répondre à la question 3) qui est celle-ci
3. Le sérum n'est efficace que si le sang en contient en
permanence une quantité au moins égale à 2 cm³.

Déterminer graphiquement, puis calculer l'instant à
partir duquel le sérum sera efficace.
  q(t)≥2
on cherche  la valeur de t à partir de la laquelle   la quantité de serum n'est jamais inferieure à 2  
or q(32) AVANT injection est inférieur à 2

as-tu regarde le graphique...
autre remarque la  démarche pour les réponses à la première  question peut être utile

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 18:22

En tout cas d'après ce que j'ai sur le graphique ce n'est pas possible.

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 18:32

on  sait que
q0= 1 cm³.
graphiquement on remarque q(32) avant injection <2  
on a calculé
q(1) q(8) q(16)q(24)



Temps d\'éffet d\'un médicament.

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 18:34

oups mauvaise manip...  je précise les colonnes et les lignes que tu devras compléter

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 18:49


    [td]24
tavant injectionapres injection
001
8e^(-1/3)...e^(-1/3)+1...
16........e^(-2/3)+e^(-1/3)+1/td]
..............


Que remarques -tu   à propos des termes de   chaque  somme?

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 18:50

un case  perdue....

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 20:03

L'ajout de 1 après injection

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 20:33

1+e^(-1/3)+e^(-2/3  )   est la somme de  3 termes  consécutifs de la géométrique de raison .........

à justifier

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 20:45

De raison e^(-1/3) car 1+e^(-1/3)+e^(-2/3) = 1+ 1×e^(-1/3)+ e^(-1/3)×e^(-1/3)

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 20:55

  1+e^(-1/3)+e^(-2/3)=  formule de la somme de ces  termes

il faudra   démontrer  que  pour   tout   n  
apres injection  q(8n) =   somme des n  premiers termes de la suite géométrique de raison  e^(-1/3)

et  indique la formule .

Posté par
matheux14
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 21:25

q(8)=1+e^{-1/3}+e^{-2/3}=\dfrac{1-(e^{-1/3})³}{1-e^{-1/3}}=\dfrac{1-e^{-1}}{1-e^{-1/3}}

q(8n)=1+e^{-n/3}+e^{-2n/3}=\dfrac{1-(e^{-n/3})³}{1-e^{-n/3}}=\dfrac{1-e^{-n}}{1-e^{-n/3}}

Posté par
PLSVU
re : Temps d'éffet d'un médicament. 28-02-21 à 21:56

  ces q(8)  et q(8n) sont faux    
quand t= 8  on injecte la ...............injection   ,la somme  a ......... termes
  pour  t=8n  on injecte la ............. injection ,la somme  a......... termes

Posté par
carpediem
re : Temps d'éffet d'un médicament. 13-03-21 à 14:03

PLSVU : pourrais-tu m'expliquer comment tu as fait ta courbe

je n'arrive pas à "automatiser" et la périodicité et le saut de 1

je travaille évidemment "modulo 8" mais je n'arrive pas "cumuler" les valeurs de q(8k)

merci par avance

PS : je vais au jardin un peu et je reviens pour le rugby donc ça n'est pas "pressé" mais merci par avance

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