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Théorème de Bachet de Méziriac
Bonjour, Pouvez-vous m'aider pour mon exercice de spé Math ?
Mon exercice se compose de plusieurs parties mais une particulièrement me pose problème:
On a une équation 180x-186y=6 avec x et y entiers relatifs.
Ensuite on a : soit a et b deux entiers naturels non nuls et l'ensemble E={ax-by;x
,y}
1.Démontrer que E+, ensemble des entiers de E strictement positifs, est non vide.
En déduire qu'il admet un plus petit élément. Nous le noterons d.
Ainsi il existe deux entiers relatifs x0 et y0 tels que d=ax0-by0.
2.Démontrer que tout multiple de d est un élément de E.
Je ne sais vraiment pas comment il faut démontrer qu'un ensemble est non vide, donc la suite est compliquée.
Merci d'avance!
Bonjour,
Pour démontrer qu'un ensemble est non vide, il suffit d'en exhiber (ou citer) un élément.
Ici, il faut trouver x et y tels que ax-by > 0 .
les entiers a et b sont inconnus mais positifs stricts ; cherche des entiers à mettre à la place de x et y pour être certain que le résultat est positif strict.
Si tu ne trouves pas, je donnerais un indice.
Bonjour,
comment il faut démontrer qu'un ensemble est non vide
si tu prends x=1 et y=0, puisque a est un entier naturel non nul, tu obtiens un élément de E+
Bonjour !
Je suis aussi en spé maths, je n'ai jamais fait d'exos de ce type mais pour la première question je peux t'aider 
.
Pour montrer qu'un ensemble est non vide, tu montres qu'il contient au moins un élément...
Ici tu as ax-by=6 (avec a=180 et b=186) et 6 est un nombre positif. Donc qui appartient à E+.. Donc E+ contient au moins un élément ax-by=6, par conséquent il n'est pas vide ^^. C'est come ça que je ferais, après si quelqu'un pouvait confirmer, tu serais plus sûre, je n'ai pas le recul nécessaire pour être sûre qu'il n'y a pas mieux.
Ps : pour info, ça marche effectivement avec 180, 186 et 6, il y a une solution évidente, le couple (-1,-1), au cas où ça peut t'aider 
Il n'y a pas de quoi être désolés
J'avais pensé à x = b+1 et y = a qui était bien plus compliqué que x = 1 et y = 0 ...
Merci beaucoup à tous ! Quelle rapidité !
je ne pensais pas que citer simplement un élément suffisait à démontrer!
Par contre pour le plus petit élément je répond: L'ensemble E admet un plus petit élément car il est non vide et x et y doivent être des entiers relatifs strictement positifs ?
Auriez vous un indice pour le 2.?
L'ensemble E admet un plus petit élément car il est non vide
(
+* en revanche c'est plus délicat!)
x et y doivent être des entiers relatifs strictement positifs
2) comment s'écrit un multiple de d?
que vaudraient alors x et y en fonction de x0 et y0???
C'est E+ qui admet un plus petit élément, d'après une propriété qui doit être dans ton cours, genre : Tout sous ensemble non vide de 
admet un plus petit élément.
Pour 2), un multiple de d s'écrit kd ; cherche à démontrer que kd peut s'écrire ax-by en utilisant d=ax0-by0 .
plutôtJe parlais d'éléments positifs bien évidemment d'où mon exemple avec R+* (je ne sais pas s'il n'admet pas de plus petit élément ou si on est seulement incapable de le déterminer; je pencherais plutôt pour la première option)
Merci
Je n'ai pas encore fais le cours sur ce chapitre c'est justement un exercice d'introduction..
Alors si x=k*x0 et y=k*y0 alors x0=x/k et y0=y/k
Donc si d=ax0-by0
alors d=a*(x/k)-b*y/k) et kd=ax-by
Je ne suis vraiment pas sûr!
En arithmétique, les quotients non entiers comme y/k sont à éviter.
Reprends mes conseils de 18h42 :
Pour 2), un multiple de d s'écrit kd ; cherche à démontrer que kd peut s'écrire ax-by en utilisant d=ax0-by0 .
"en utilisant" signifie qu'en écrivant d=ax0-by0 , tu peux trouver kd = ...
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