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Théorème de Bézout
Salut 
J'ai un exercice sur le théorème de Bézout mais je ne comprends pas..
Voilà l'exercice :
Soit n un entier naturel non nul
En utilisant le théorème de Bézout, montrer que :
1) 9n+4 et 2n+1 sont premiers entre eux
2) n2+2n-2 et n-1 sont premiers entre eux
3) (n+1)2 et n+2 sont premiers entre eux
J'ai réussi à faire le 1 sans vraiment utiliser le théorème de Bézout 
Voilà ma réponse :
D'après le théorème de Bézout si a et b sont premiers entre eux alors il existe u et v de Z (entier relatif le Z bizarre)
tel que : au+bv=1
Donc : (9n+4)u+(2+1)=1
On cherche à supprimer les n donc :
α1 = (9n+4)(-2)+(2n+1)9= 1
α2 = (9n+4)2+(2n+1)(-9)= 1
Ou α1 et α2 sont les deux propositions avec l'une des deux possibles.
α1 = -18n-8+18n+9 = 1 Vrai
α2 = 18+8-18n-9 ≠ 1 Faux
Donc u=-2 et v=9
Cqfd
Voilà je n'ai pas du tout utiliser le théorème de Bézout et ma phrase "Ou α1 et α2 sont les deux propositions avec l'une des deux possibles." j'ai un peu l'impression que c'est incorrecte d'écrire ça..
Les deux autres je n'y suis pas arriver si vous pouviez m'aidez merci j'ai pensé à utiliser l'algorithme d'Euclide ? Mais dans la consigne il précise bien "en utilisant le théorème de Bézout"....
salut
tu as trouvé u = -2 et v = 9 tels que -2(9n + 4) + 9(2n + 1) = 1
donc les nombres 9n + 4 et 2n + 1 sont premiers entre eux ...
2/ (n - 1)^2 = ...
3/ n(n + 2) = ...
Merci pour ta réponse mais je n'ai pas compris ce que tu as fait ?
Pourquoi as tu mis au carré ? Et ensuite n en facteur ?
Je ne pense pas avoir compris ce que tu veux me dire..
2/ u(n-1)2+v(n-1)=1
u(n-1)2 =1-(v(n-1))
J'en suis ou tu en es la :
(n-1)2 = (1-(-v(n-1)))/(u)
Le calcul est un peu lourd la non ?
J'ai rien compris..
Eu il vient d'ou le n+3 ??
Sinon :
2/ (n-1)(n+3)= n2+2n-3
Il faut montrer que :
n2+2n-2 et n-1 sont premiers entre eux
et n2+2n-3= n2+2n-2 -1
Donc n+3= v ?
Je suis pas très sur de moi la..
3/
n(n+2)= n2+2n
Il faut montrer que (n+1)2 et n+2 sont premiers entre eux
Donc u(n+1)2+ (n2+2n)(n+2) ??
Je me suis dis quand utilisant la même méthode que pour la 1 j'arriverai à trouver la 3
Donc
3) (n+1)2 et n+2 sont premiers entre eux
n2+2n+1
u x n2+2n+1 + v x n+2 = 1
u x n2+2n+1 = 1 - (v(n+2))
u x n2+2n+1 = 1 -(n(n+2)) car
= 1-n2-2
Si u=1 alors
n2+2n+1-n2+2 =1
Donc u = 1 et v = n ?
svp j'ai vraiment besoin d'aide la...Eu il vient d'ou le n+3 ??
Sinon :
2/ (n-1)(n+3)= n2+2n-3
Il faut montrer que :
n2+2n-2 et n-1 sont premiers entre eux
et n2+2n-3= n2+2n-2 -1
Donc n+3= v ?
Je suis pas très sur de moi la..
et n + 3 = v ::: oui ... et que vaut u ?
et d'où vient n + 3 ? :: il me pète à la gueule parce que je sais compter et calculer ... (et mentalement en particulier)
et là ::
n2+2n+1
u x n2+2n+1 + v x n+2 = 1
u x n2+2n+1 = 1 - (v(n+2))
u x n2+2n+1 = 1 -(n(n+2)) car
= 1-n2-2
Si u=1 alors
n2+2n+1-n2+2 =1
Donc u = 1 et v = n ?
je vois que ce n'est pas ton cas :: connais-tu les parenthèses ?
u = 1 et v = .... ?
Eu il vient d'ou le n+3 ??
Sinon :
2/ (n-1)(n+3)= n2+2n-3
Il faut montrer que :
n2+2n-2 et n-1 sont premiers entre eux
et n2+2n-3= n2+2n-2 -1
Donc n+3= v ?
Je suis pas très sur de moi la..
et n + 3 = v ::: oui ... et que vaut u ?
et d'où vient n + 3 ? :: il me pète à la gueule parce que je sais compter et calculer ... (et mentalement en particulier)
Donc u vaut 1 ! Mais comment je pourrais justifier n+3 ? J'aimerai comprendre comment tu l'as calculé stp
et là ::
n2+2n+1
u x n2+2n+1 + v x n+2 = 1
u x n2+2n+1 = 1 - (v(n+2))
u x n2+2n+1 = 1 -(n(n+2)) car
= 1-n2-2
Si u=1 alors
n2+2n+1-n2+2 =1
Donc u = 1 et v = n ?
je vois que ce n'est pas ton cas :: connais-tu les parenthèses ?
u = 1 et v = .... ?
v vaut - n ?
Pour le 2 ce n'est pas plutôt -n-3 ?
Donc u vaut 1 ! Mais comment je pourrais justifier n+3 ? J'aimerai comprendre comment tu l'as calculé stp
pour éliminer les n^2 je dois multiplier n - 1 par n ... qui fait apparaître -n
pour éliminer le terme 2n + le "-n" au dessus que je dois éliminer donc -(-n) je multiplie n par 3 ....
(n - 1)(n + 3) me saute donc aux yeux ...
et oui bien sur il faut soustraire donc -(n + 3) ....
Désolé de te demander ça mais pourrais-tu détaillé les calculs pour le n+3 stp ? Car ça fait 10 min et je trouve pas je dois vraiment être mauvais en calcul...
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