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Théorème de Cantor-Berstein

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 27-09-07 à 21:49

Bonsoir

J'ai un petit problème pendant ces préparatifs du premier DS

J'ai démontré ce théorème sur un autre exo avec une méthode totalement différente, mais là c'est une méthode plus dur que j'ai pas bien saisi

Soient E et F deux ensembles non vides. On dit que E et F sont équipotents s'il existe une bijection 3$\varphi :E\to F.

On suppose qu'il existe une surjection 3$f:E\to F et une injection 3$g:F\to E.

On pose: 3$\fbox{\{h=gof\\ A=h(E)\\ B=g(F)\backslash A\\ C=E\backslash \(A\cup B\)} et pour 3$i\in\mathbb{N}: 3$\fbox{\{A_i=h^i(A)\\B_i=h^i(B)\\C_i=h^i(C)}

1) Si 3$B=\empty ou 3$C=\empty, démontrer que E et F sont équipotents.

je poste la suite après ...

Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 21:59

Salut

Si B est vie, g(F)\A est vide donc g(F) est lui même vide donc F est vide.

En effet, si F n'est pas vide, il contient un élément a, et g(F) contient au moins f(a) donc n'est pas vide.

De plus f : E -> F est surjective. On en déduit que E est vide.

Or tout ensemble est équipotent à lui même.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:03

g(F)\A est vide implique que g(F) est dans A et non qu'il est vide non?

Posté par
Nightmarere : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:06

Je savais que c'était trop simple ^^

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:13



il faut prouver que f et g sont surjectives. mais à quoi ça va servir g(F) est dans A ?

Posté par
Nightmarere : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:17

g(F) est dans gof(E) on doit pouvoir conclure en utilisant des notions de cardinalité.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:20

oh que oui

g(F)=g(f(E)) et g injective donc: F=f(E) donc f injective

de même pour f si on prend C

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:23

Citation :
donc f injective


lire: surjective

Posté par
Nightmarere : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:26

Ben voila c'est terminé

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème de Cantor-Berstein 27-09-07 à 22:27

la suite...

Désormais, on suppose 3$\rm B\neq\empty et 3$\rm C\neq\empty

2) Démontrer que pour tout i de IN 3$\rm\(A_{i+1},B_{i+1},C_{i+1}\) est une partition de 3$\rm A_i

Alors là c'est pire


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