Bonjour, l'objectif de l'exercice est de démontrer que tout groupe fini est isomorphe a un sous groupe d'un groupe symétrique.
Je pense avoir la solution,quelqu'un peut t'il me dire si c'est juste ?
preuve: Soit G un groupe fini de cardinal n\{0}.
G agit sur lui même par translation à gauche.On peut donc considérer un morphisme
de G dans SG(groupe symétrique),gP(g): GG,
hgh
Soit P le morphisme en question, P est injectif ,en effet ker(P)={gG tel que P(g)(h)=h}={eG}.
Donc P induit un isomorphisme entre G et im(P).
Notons p:Gim(P),p est un isomorphisme,comme SGSn(isomorphe)on a l'application t:SGSn qui est un isomorphisme,
l'application T:SGSn(restreint a im(P)) est un monomorphisme.
T induit un isomorphisme entre im(P) et im(T),on a donc Gim(P)im(T),ainsi Gim(T),comme im(T) est un sous
groupe du groupe symétrique Sn,on a le résultat voulue
Rebonjour,
tu peux t'arrêter au moment où tu dis que induit un isomorphisme de sur
puisque est un sous-groupe de avec de cardinal
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