Bonsoir,
il s'agit de montrer que si:
Ker(f) inclus dans Ker(g) => il existe h appartenant à L(E), f=hg
Im(f) inclus dans Im(g)   => il existe h appartenant à L(E), f=gh

Je pense que c'est cela, à moins qu'il faille permuter g et h

il y a éééévidemment équivalence !

merci! et comment on fait pour le montrer?

la démonstration n'est pas évidente !
en fait je me suis trompé : pour la première g = hf
Il faut simplement construire la fonction h.
Grossomodo, tu sais que tout espace admet un supplémentaire, c'est donc le cas de Ker(f), j'appelle un de ces supplémentaires F.
Soit x dans E. Je peux décomposer x en : x = x1 + x2. avec x2 appartenant à F et l'autre à Ker(f)
Je pose h : f(x) -> g(x), avec x dans F.
et je pense (je ne suis pas sûr) que ça marche !

je ne sais pas si ca marche. Pcq il faut verifier la linearité de h

mais sinon en dimension finie on peut raisonner sur les elements inversibles et conclure par densité? tu en penses quoi?

euhhh je pense que ton histoire de densité doit s'inscrire dans le programme de spé que je ne connais pas encore ! mais je me souviens avoir démontré ça avec mes outils de sup !
en fait pour la linéarité de h c'est très faisable !
vérifie d'abord que : g = hf
et puis montre que h est linéaire !

je vois toujours pas comment il faut faire.

soit x et y dans F. On pose : x= f(a) et y = f(b)
g(a+b) = h(f(a+b)) = h(f(a) + f(b))
donc
g(a) +g(b) = h(f(a) + f(b))
d'ou
h(x+y) = h(x) + h(y)
même principe pour le scalaire!
h est donc linéaire.
Qu'est ce que tu en penses ?

pourquoi x=f(a) et y=f(b)??? il se peut que x et y ne soient pas des elements de Im(f)!!

ahhh ben non j'ai confondu avec la suivante !
retire x = f(a) et y = f(b), tu montres donc que :
h(f(x) + f(y)) = hf(x) + hf(y) étant donné que h prend pour argument un élément de Im(f)!

mais je ne suis pas tres daccord avec ta construction de h!

je ne saisi pas ce que tu fais

Bon voilà une démo complète :
un sens est évident
Voici le deuxième sens :
tu notes H le supplémentaire de Ker(f) et G celui de Im(f). Tu sais que f induit un isomorphisme de H sur Im(f). je le note k. tu prend l'application h=gok^-1. d'après mes ex notations : x = x1 + x2.
Donc f(x) = f(x2) d'ou k^-1(f(x)) = x2. Finalement
hf(x) = g(k^-1(v(x)) = g(x2) = g(x)
Enfin ...

NB : P est le supplémentaire de Im(f) dans H.
h = gok^1 sur Im(f)
h = O sur P !

Bonjour à tous les deux. Voici ce que l'on appelle en général théorème de factorisation:

Soit f:XY une fonction entre deux ensembles, soit R une relation d'équivalence sur X et q:XX/R la surjection canonique. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(i)

(ii)

Ce théorème général admet des adaptations dans de nombreux cas:
-si f est un morphisme de groupes et si R est la relation associée à un sous-groupe distingué; alors la g que l'on récupère est un morphisme de groupes

-si f est une application linéaire entre espaces vectoriels, si X' est un sev de X, et si R est la relation d'équivalence associée à X', on obtient une application linéaire.

-il existe aussi des versions topologiques...