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Théorème de Gauss et équation diophantienne
Bonjour,
j'ai un exercie de spé non corrigé qui me pose problème et j'ai DS demain alors...j'ai besoin d'un peu d'aide.
x et y désignent des entiers relatifs.
(E) est l'équation 8x - 5y =7.
1) Vérifier que le couple (x0, y0) = (9, 13) est solution de (E).
2) Démontrer qu'un couple (x, y) est solution de (E) SSI 8(x-x0) = 5 (y-y0).
3) En déduire toutes les solutions de (E).
4) En utilisatn la question précédente, déterminer tous les entiers relatifs x tels que 8x soit congru à 7 modulo 5.
Mes réponses :
1) 8*9 -5*13 = 7 donc (x0, y0) = (9, 13) est solution de (E).
2) 8 (x, x0) = 5 (y, y0)
8x - 8x0 = 5y - 5y0
8x - 72 = 5y - 65
8x - 5y = 7
8 (x, x0) = 5 (y, y0) équivaut à (E) donc un couple (x, y) est solution de (E) SSI 8(x-x0) = 5 (y-y0).
Après, je ne sais pas ce qu'il faut faire, je n'ai pas compris la méthode...
SVP, aidez moi!
Merci
Bonjour
1) et 2) sont OK.
3) Si (x,y) est solution tu as vu que 8(x-9)=5(y-13). Ceci entraine que 5 divise 8(x-9) et comme 5 et 8 sont premiers entre eux, 5 divise x-9. Il existe donc un entier k tel que x-9=5k, ou encore x=9+5k. De là je te laisse montrer que y=13-8k. L'ensemble des solutions est donc (9+5k, 13-8k) pour k
.
4) Dire que 8x
7 (mod 5) c'est exactement la même chose que: il existe y tel que 8x=7+5y.
bonjour,
2) si (x;y) est solution de 8x-5y=7 avec x et y entiers alors 8x-5y=8*9-5*13, donc 8*(x-9)=5(y-13) et cette ligne peut s'ecrire dans l'autre sens:
si 8*(x-9)=5(y-13) alors 8x-5y=8*9-5*13 alors 8x-5y=7 donc c'est bien equivalent de dire (x,y) solutionde (E) et 8(x-9)=5(y-13)
3) or si 8(x-9)=5(y-13), alors 8 divise 8*(x-9) donc 8 divise 5*(y-13) or 8 est premier avec 5 , donc THEOREME de Karl Friedrichs Gauss : 8 divise (y-13) ce qui s'ecrit (y-13)=8k mais alors reprenons
8(x-9)=5(y-13)on a donc 8(x-9)=5*8k donc (x-9)=5k avec le meme k donc vu 2) les coulpes solution de (E) sont les couples de la forme (5k+9;8k+13); k etant un entier quelconque
Bonjour 
3)Tu as la solution particulière, tu peux en déduire une solution générale, en effet:
/* N'oublie pas de préciser que tu te sers de Théoréme de Gauss car PGCD(5;8)=1 */
ensuite,
Sauf erreur
4- Découle de la 3) 
Kuider.
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