Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Théorème de l'accélaration normale / demande de ressources

Posté par
lZenol 11-04-24 à 21:47

Bonjour à tous, c'est mon premier post ici je vais essayer d'être clair, on a défini en cours de géométrie le repère de Frenet pour une courbe gamma paramétrée par son abcisse curviligne s par:

$\\ T(s) = \gamma'(s) \quad N(s) = R_{\pi/2}T(s) \\$

Ainsi que les formules de Frenet associées, où k définit alors la courbure algébrique au point s:

$\\ T'(s) = k(s)N(s) \quad N'(s) = -k(s)T(s) \\$

Puis l'objectif fut de décomposer le vecteur accélération dans cette base pour calculer la courbure plus facilement par la suite (sans avoir a paramétrer par l'abcisse curviligne), le problème c'est que je ne comprends pas la dérivation menant à la formule trouvable partout:

$\\    \gamma''(t) = v'(t)T(t) + v^2(t)\kappa(t)N(t) \quad \quad (1) \\$

(Je note v(t) la vitesse scalaire au temps t)
Si je dérive simplement l'expression de l'acclération par rapport à t, j'obtiens:

$\\    \gamma''(t) = (v(t)T(t))' = v'(t)T(t) + v(t)(T(t))' \\$

Jusqu'ici tout va bien mais maintenant je comprends pas comment trouver que $(T(t))' = v(t)k(t)N(t)$ ,

Je pense que cela doit découler des formules de Frenet, mais à part des ressources anglo-saxonnes où on abuse des notations de Leibniz, sans mettre les points où on évalue les différentielles etc, je ne trouve rien de rigoureux ...

Seule réponse trouvée avec des notations pas terrible et en devinant les points ou sont calculées les dérivées ...

$\\   \frac{dT}{dt} = \frac{dT}{ds}\frac{ds}{dt} = k(s)N(s) v(t) \\$

Et ça nous donnerais une formule qui contient du s et du t ce qui est absurde car N(s) != N(t) a priori dont le repère serais pas bon ...

Bref je suis perdu. Merci d'avance pour l'aide de ceux qui s'y pencheront !

Posté par re : Théorème de l'accélaration normale / demande de ressources 12-04-24 à 12:19

Bonjour,

je pense en effet que les notations sont importantes au départ pour comprendre les choses. Tu peux regarder dans les livres de Ramis Deschamps Odoux, il me semble qu'ils expliquent assez bien les choses (je ne sais plus dans quel volume se trouve l'analyse local des courbes en revanche).

Si tu as une courbe $C$ paramétrée par $(I, \alpha)$ de classe au moins C1, on définit l'abscisse curviligne $s : I \to \R$ en prenant un point de base $t_0 \in I$ quelconque et en posant la formule

$\forall t \in I ~:~ s(t) = \int_{t_0}^t \| \alpha'(u) \| du$

En général si I est un segment [a,b], on prend t₀ = a. On va supposer que C est régulière au sens où la dérivée de alpha ne s'annule jamais ; dans ce cas, l'abscisse curviligne est une fonction strictement croissante et réalise une bijection de I avec un intervalle J de . Une paramétrisation par abscisse curviligne de la courbe C est alors donnée par $\gamma := \alpha \circ s^{-1} : J \to \R^p$ . On obtient alors les formules de ton premier message en pensant très fort que s = s(t) pour un certain t dans I, autrement dit $T \circ s = \gamma' \circ s$ , mais puisque s est une bijection ça veut simplement dire que $T = \gamma'$ . Attention, en général T se réfère au vecteur tangent unitaire donnée par la paramétrisation par longueur d'arc, ici ce n'est pas le cas ! C'est $T \circ s$ le vecteur tangent unitaire avec nos notations.

L'objectif maintenant c'est d'exprimer les vecteurs vitesse et accélération de $\alpha$ dans "la base" donnée par le repère de Serret-Frenet. La vitesse scalaire est donnée par $v(t) = s'(t) = \|\alpha'(t)\|$ , le vecteur vitesse par $V(t) = \alpha'(t)$ et le vecteur accélération par $A(t) = \alpha''(t)$ . Il suffit de faire les calculs en utilisant la formule $\alpha = \gamma \circ s$ :

$V(t) = s'(t) \gamma'\left(s(t)\right) = v(t) T\left(s(t)\right)$

$A(t) = V'(t) = v'(t)T\left(s(t)\right) + v^2(t)T'\left(s(t)\right)$

ou encore en utilisant la formule de Frenet $T' = k N$ :

$A(t) = v'(t)T\left(s(t)\right) + v^2(t) k\left(s(t)\right) N\left(s(t)\right)$

La dernière formule se note usuellement par $A = \dfrac{dv}{dt}T + v^2 k N$ mais c'est plus un moyen mnémotechnique qu'une vraie formule, on a un problème d'unité en quelque sorte (A et v s'exprime en fonction du temps alors que T, k et N en fonction de l'abscisse curviligne). Puisque le problème de départ était d'exprimer A dans le repère de Serret-Frenet qui, lui, s'exprime en fonction de l'abscisse curviligne, les notations sont permises. Je pense que c'est ce point là que tu trouvais absurde dans ton message. J'espère que c'est plus clair !

Posté par re : Théorème de l'accélaration normale / demande de ressources 12-04-24 à 12:21

Pardon, je me permets de modifier un passage. J'ai du écrire une phrase puis l'effacer et on a l'impression qu'il y a un lien logique entre deux phrases alors que pas du tout.

Citation :
On obtient alors les formules de ton premier message en pensant très fort que s = s(t) pour un certain t dans I. En particulier, la première formule n'est autre que $T \circ s = \gamma' \circ s$ , mais puisque s est une bijection ça veut simplement dire que $T = \gamma'$ . Attention, en général dans la littérature T se réfère au vecteur tangent unitaire donnée par la paramétrisation par longueur d'arc, ici ce n'est pas le cas ! Ce serait $T \circ s$ le vecteur tangent unitaire avec nos notations.

Posté par re : Théorème de l'accélaration normale / demande de ressources 12-04-24 à 14:52

Ah merci beaucoup pour votre réponse, ça me conforte dans ce que j'avais trouvé hier en fin de soirée, vu qu'en effet, j'en était rendu à la dernière formule que vous avez écrit:

$\\ A(t) = v'(t)T(s(t)) + v(t)^2k(s(t))N(s(t)) \\$

Et c'est exactement le problème de notation que vous évoquez qui me perturbe d'ailleurs, et même qui me bloque dans des exos, en particuler dans mes TD on demande de calculer la courbure au *temps t* par l'identité:

$\\ k(t) = (\gamma''(t) \cdot N(t))\frac{1}{v^2(t)} \\$

On projete l'accélération sur N(t) pour avoir la composante normale qu'on divise par le facteur inutile, et ça marche, on fait "comme si" dans la formule, il n'y avait que du t ! Alors que normalement ça devrait être $k(s(t)) \neq k(t)$ . La seule explication que j'ai trouvé c'est avec des manipulations sur les différentielles (trés spéculatives attention ...) inspiré de mon cours de calcul diff et de mes recherches sur les formes diff, où j'essaie de dériver une formule de Frenet pour une paramétrage quelconque, on a la différentielle suivante par les formules de Frenet:

$\\ dT(s) = k(s)N(s)ds \\$

Mais le $s$ (point d'évaluation de la différentielle) est techniquement muet et le $s$ du $ds$ ne l'est pas (projection sur la cordonée "longueur d'arc", il est censé porter l'information géométrique ? C'est ici le point flou) donc on a techniquement:

$\\ dT(t) = k(t)N(t)ds \\$

Et $ds = (s(t))'dt = v(t)dt$ en dérivant simplément la primtive de la définition de $s$ , donc on trouve une variante des formules de Frenet pour une paramétrisation quelconque qui serait:

$\\ dT(t) = k(t)N(t)v(t)dt \\$

Et en rédérivant l'accélaration $\gamma''(t) = (v(t)T(t))'$ où ici T est simplement le vecteur vitesse normalisé, et en utilisant cette nouvelle formule de Frenet, on retombe sur la formule qui devrait être fausse:

$\\ A(t) = v'(t)T(t) + v(t)^2k(t)N(t) \\$

Mais je suis pas encore à l'aise sur les manipulations avec les fomes différentielles pour être sur de la rigueur de mes intereprétations et manipulations formelles ... Notamment sur la partie : le s du ds n'est pas muet et représente la projection sur la cordonée "longueur d'arc".
En tout cas cette formule ne devrait pas être fausse, vu la méthode que je suis censé utiliser en td pour retrouver la courbure au temps t ! Et même je me suis amusé hier soir à fait un "script" sur desmos qui automatise les résultat donnés par cette formule normalement fausse, et peu importe la courbe choisie, le cercle osculateur correspond toujours (géométriquement au moins, même si ça n'a aucune valeur de preuve). Je met le lien si jamais ça intéresse du monde ...
https://www.desmos.com/calculator/yk3tb50mnb?lang=fr

En tout cas merci beaucoup pour votre aide !

Posté par re : Théorème de l'accélaration normale / demande de ressources 12-04-24 à 14:52

Et désolé pour le pavé, mais pour le coup le problème est pas super concis à expliquer

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