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théoreme de la projection orthogonale sur un sous espace
bonjour,
je n'arrive pas à comprendre d'ou vient la formule de la projection orthogonale. (e1,...ep) est une base orthonormée d'un sous espace vectoriel E' d'un ev E. pour x dans E,
p(x)=
p(x) 
E'.
quelqu'un peut m'expliquer comment on la trouve ? mon cours énonce le théoreme mais ne démontre que que p(x) E', que p(x) -x E' orthogonal, que p o p = p, etc, mais pas la formule en elle même.
merci
non je n'ai pas demonstration de la formule, alors oui je veux bien, merci
voici mon cours http://www.iecn.u-nancy.fr/~geandier/cours-Alg-3.02-2007.pdf page 49 de acrobat reader (45 du poly)
la formule en elle même n'est pas démontrée..
deja est ce que tu es d'accord avec le fait que si p(x) appartient a F alors x-p(x) appartient a F orthongonal?
oui ca j'ai bien compris
alors ensuite, pour tout xE, p(x)F
il existe donc 
1,...p tel que p(x)=
(1àp)i*ei (les i sont en indices)
et pour tout j{1,...p}, on a <x,ej>=<p(x)+x-p(x),ej> =<p(x),ej>+0=(1àp)i*ei ,ej>= j
et p(x)=(1àp)<x,ei>*ei
merci !
mais je ne comprends pas la derniere somme
<p(x),ej> + 0 = ??
le 0 vient de l'orthogonalité car les ej appartiennent à F et x-(px) a l'orthogonal de F (si j'ai bien compris)
pour en revenir a ce que tu m'a demandé, en fait on a
<p(x)+x-p(x),ej> =<p(x),ej> + <x-p(x),ej> car <.> est bilinéaire et <x-p(x),ej>=0 car ej appartient a F et x-p(x) appartient a l'orthogonal de F
d'accord!
pourquoi la somme (1àp)i*ei ,ej>=j
pourquoi c'est égal à j ?
encore merci!
i varie de 1 à p alors je comprend pas comment i devient j
ah et comment on retombe sur la formule ? 
or on a posé p(x)=(1àp)i*ei
il suffit de remplacé i par ce que j'ai marqué dans mon message de 12.11
merci j'ai tout compris 
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