Bonsoir
Je suppose que le triangle est ABC et non ABD, et H est sur BC  
On a 2 triangles rectangles ABH et AHC
Dans ABH, HB²=AB²-AH²
Dans AHC, HC²=AC²-AH²
HB²-HC²=AB²-AH²-(AC²-AH²)=AB²-AH²-AC²+AH²=AB²-AC²

Bonsoir ,

le point H est le pied de la hauteur issue de A
signifie un angle droit en H.

On a 2  triangles AHB et AHC   (rectangle en H) .

On applique le théorème de Pythagore pour ces 2 triangles:

AH²= AB²-HB² pour le triangle AHB
AH²= AC²-HC² pour le triangle AHC

donc avec cette égalité de AH² on a  AB²-HB²=AC²-HC²

donc AB²-AC²= HB²-HC²