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Théorème ergodique de Von Neumann

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 30-05-08 à 14:31

Bonjour

un petit exo costaud qui me bloque

Soit E un espace vectoriel euclidien et 3$\rm u\in\mathcal{L}(E) tel que 3$\rm ||u||\le 1. On pose 3$\rm v=u-Id_E.

1- Montrer que 3$\rm Ker v\oplus Im v=E

2- Soit 3$\rm x\in (Im v)^{\perp}. En évaluant 3$\rm ||u(x)-x||^2 montrer que 3$\rm x\in Ker(v). En déduire que Ker(v) et Im(v) sont supplémentaires orthogonaux dans E.

3- Etudier la convergence dans 3$\rm u\in\mathcal{L}(E) de la suite 3$\rm \frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=0}^{n}u^k

J ai pensé à démontrer qu une application p est projecteur orthogonal ssi 3$\rm ||p||\le 1 est ce une bonne piste?

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Théorème ergodique de Von Neumann 30-05-08 à 14:49

Bonjour monrow

L'homothétie de rapport 1/2 est bien de norme < 1, non?

1. Regarde la norme des éléments de Ker v Im v!
2. Fais ce qu'ils disent...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Théorème ergodique de Von Neumann 30-05-08 à 15:34

Salut Camélia

C'est bon! il me reste la dernière question ! un indice?

Posté par
Camélia Correcteurre : Théorème ergodique de Von Neumann 30-05-08 à 15:37

Pour la dernière question il faut surement distinguer entre ||u||=1 et ||u|| < 1.


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