Bonjour,
oui c'est l'idée, comme K/R est une algèbre de dimension finie c'est une extension algébrique de R qui se plonge donc la cloture algébirque de R, c'"est à dire C. Donc K est une sous extension de C/R. Comme [C:R]=2, on a pas trop le choix, soit K=R soit K=C.

Salut,

En admettant que C est algébriquement clos, on devrait pouvoir s'en sortir très facilement non?

Je m'explique: On suppose que k commutatif.

Soit a dans k. Comme dim(k/R) est fini, a est algébrique sur R. Il existe donc P à coef réels tel que P(a)=0.
Or, P est scindé sur C (car algébriquement clos justement). Donc P est scindé sur C et sa décomposition en facteur premiers est unique à l'ordre près des facteurs (ça, ça vient de la commutativité). Finalement, on a "a" qui est dans C.

Donc R inclus dans k inclus dans C.

Comme dim(C/R)=2 il vient que soit k=R soit k=C.

_{(Sauf erreur).}

Ayoub.

Ah, grillé.

_{(Salut Rodrigo, yavait longtemps).}

Salut, oui y avait longtemps

Bonjour leflamenquiste,

il y a plus simple: R et C sont évidemment des extensions commutatives de degré fini.

Inversement, soit K une extension finie commutative de R et n son degré.Comme R est de caractéristique 0, l'extension est séparable, et le théorème de l'élément primitif s'applique.

Il existe donc a dans K tel que K=R(a).

L'extension étant de degré n, le polynôme minimal de a est irréductible de degré n et à coefficients réels, ce qui implique n=1 ou n=2.

Toute extension commutative de degré 2 de R étant isomorphe à C, on obtient bien le résultat attendu.


Tigweg

Greg >> C'est pas ce que j'ai écrit?

Bonjour vous deux,

vous m'avez méga-grillé!

Sisi, mais j'avais pas vu!!

Salut.

ok d'accord et pour H (les quaternions) on utilise le fait que c'est un surcorps de ???de manière à avoir un morphisme d'algèbre H???

merci à tous ça me permet de voir les choses de différentes j'étais partie dans les clôtures algébriques en oubliant le reste

En ce qui me concerne, avec plaisir.

Pour ma part, de rien. Sinon, pour le résultat sur H, vu que je le connais très mal, je vais pas vraiment pouvoir t'aider. Désolé.

Bonjour,

je suis pas sûr d'avoir compris...
Voilà ce que j'ai écris :

Soit a dans K
R( a ) est donc inclus dans K
donc dim(R( a )/R) < dim(K/R) qui lui meme est plus petit que l'infini (hypothese)
donc a est algebrique sur R
donc il existe un P de R[X] tq P( a ) = 0
or ce poly est scindé dans C car C est algébriquement clos (d'alembert)
donc a apprtient à C
donc K est inclus ds C
on a donc R inclus dans K inclus dans C et K est un corps
donc K = R ou C

C'est bon ? Mais où intervient la commutativité de K ? Et le dernier donc est il justifié ?

Merci !

Salut,

Oui le raisonnement est juste (c'est celui que Greg et moi même avons fait d'ailleurs...). Pour la commutativité, elle sert à justifier l'unicité de la décomposition en facteur premiers. C'est fondamental pour ce qui suit.

Contre exemple dans le cas non commutatif:
Le raisonnement ne tiendrait pas dans H par exemple. X²+1 admet au moins 3 racines (i,j et k).

_{Au passage, H est algébriquement clos mais c'est pas trivial...}